Bestimmen Sie z, so dass sin(z)=2 gilt. Hinweis Eulerformel und Substitution.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie $z \in \mathbb{C}$, so dass $\sin (z)=2$ gilt.

Hinweis: Die Euler-Formel gilt auch für komplexe Argumente. Verwenden Sie ferner eine passende Substitution.

Answer 1

$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$ $$\sin z=2\Leftrightarrow e^{iz}-e^{-iz}=4i\Leftrightarrow w-\frac{1}{w}=4i\Leftrightarrow w^2-4iw-1=0\Leftrightarrow\ldots$$

Answer 2

$$sin(z)=\frac { 1 }{ 2i }({ e }^{ iz }-{ e }^{ -iz })\\=\frac { 1 }{ 2i }({ e }^{ i(x+iy) }-{ e }^{ -i(x+iy) })\\=\frac { 1 }{ 2i }({ e }^{ ix }{ e }^{ -y }-{ e }^{ -ix }{ e }^{ y })\\=\frac { 1 }{ 2i }[(cos(x)+isin(x)){ e }^{ -y }-(cos(x)-isin(x)){ e }^{ y }]\\=\frac { 1 }{ 2i }[cos(x)({ e }^{ -y }-{ e }^{ y })+isin(x)({ e }^{ -y }+{ e }^{ y })]\\=\frac { i }{ 2 }cos(x)({ e }^{ y }-{ e }^{ -y })+\frac { 1 }{ 2 }sin(x)({ e }^{ y }+{ e }^{ -y })\\=icos(x)sinh(y)+sin(x)cosh(y)=2\\sin(x)cosh(y)=2\\cos(x)sinh(y)=0\\x=\frac { \pi }{ 2 }+k\pi, k\in \mathbb{Z}\\k \quad gerade:\\cosh(y)=2\\y=\pm arcosh(2)\\k \quad ungerade:\\-cosh(y)=2 \\keine \quad Lösung\\z=x+iy=\frac { \pi }{ 2 }+2n\pi\pm iarcosh(2) ,n \in \mathbb{Z}$$