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Aufgabe:

Bestimmen Sie zC z \in \mathbb{C} , so dass sin(z)=2 \sin (z)=2 gilt.

Hinweis: Die Euler-Formel gilt auch für komplexe Argumente. Verwenden Sie ferner eine passende Substitution.

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sinz=eizeiz2i\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} sinz=2eizeiz=4iw1w=4iw24iw1=0\sin z=2\Leftrightarrow e^{iz}-e^{-iz}=4i\Leftrightarrow w-\frac{1}{w}=4i\Leftrightarrow w^2-4iw-1=0\Leftrightarrow\ldots

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sin(z)=12i(eizeiz)=12i(ei(x+iy)ei(x+iy))=12i(eixeyeixey)=12i[(cos(x)+isin(x))ey(cos(x)isin(x))ey]=12i[cos(x)(eyey)+isin(x)(ey+ey)]=i2cos(x)(eyey)+12sin(x)(ey+ey)=icos(x)sinh(y)+sin(x)cosh(y)=2sin(x)cosh(y)=2cos(x)sinh(y)=0x=π2+kπ,kZkgerade : cosh(y)=2y=±arcosh(2)kungerade : cosh(y)=2keineLo¨sungz=x+iy=π2+2nπ±iarcosh(2),nZ sin(z)=\frac { 1 }{ 2i }({ e }^{ iz }-{ e }^{ -iz })\\=\frac { 1 }{ 2i }({ e }^{ i(x+iy) }-{ e }^{ -i(x+iy) })\\=\frac { 1 }{ 2i }({ e }^{ ix }{ e }^{ -y }-{ e }^{ -ix }{ e }^{ y })\\=\frac { 1 }{ 2i }[(cos(x)+isin(x)){ e }^{ -y }-(cos(x)-isin(x)){ e }^{ y }]\\=\frac { 1 }{ 2i }[cos(x)({ e }^{ -y }-{ e }^{ y })+isin(x)({ e }^{ -y }+{ e }^{ y })]\\=\frac { i }{ 2 }cos(x)({ e }^{ y }-{ e }^{ -y })+\frac { 1 }{ 2 }sin(x)({ e }^{ y }+{ e }^{ -y })\\=icos(x)sinh(y)+sin(x)cosh(y)=2\\sin(x)cosh(y)=2\\cos(x)sinh(y)=0\\x=\frac { \pi }{ 2 }+k\pi, k\in \mathbb{Z}\\k \quad gerade:\\cosh(y)=2\\y=\pm arcosh(2)\\k \quad ungerade:\\-cosh(y)=2 \\keine \quad Lösung\\z=x+iy=\frac { \pi }{ 2 }+2n\pi\pm iarcosh(2) ,n \in \mathbb{Z}

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