Differenzialrechnung: Ableitung Hoch- und Tiefpunkte

Question

kann mir jemand bitte helfen bei der Aufgabe:

Zeigen Sie, dass f mit f(x)=e^0,25x-2-e^0,5x, x∈ℝ in x= -4•ln(2) eine Exatremstelle hat. Bestimmen Sie Art und Lage des zugehörigen Extrempunktes. 

Liebe Grüße 

Nancy

Answer 1

Hier meine Berechnungen

Das Ergebnis stimmt

Comments

Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann stelle
sie wieder ein.

Answer 2

Berechnung der Extremstelle:

Du mußt dann noch den Nachweis erbringen , was es ist.

Answer 3

Ich mache mal eine vollständige Kurvendiskussion

Funktion & Ableitungen

f(x) = e^1/4·x - e^1/2·x - 2

f'(x) = 1/4·e^1/4·x - 1/2·e^1/2·x

f''(x) = 1/16·e^1/4·x - 1/4·e^1/2·x

Symmetrie

Keine untersuchte Symmetrie

Verhalten im Unendlichen

lim (x --> - ∞) = e^1/4·x - e^1/2·x - 2 = - 2

lim (x --> ∞) = e^1/4·x - e^1/2·x - 2 = - ∞

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = - 2

Nullstellen f(x) = 0

e^1/4·x - e^1/2·x - 2 = 0

z - z² - 2 = 0 --> Keine Lösung

Extrempunkte f'(x) = 0

1/4·e^1/4·x - 1/2·e^1/2·x = 0

1/4·z - 1/2·z² = 0 --> z = 1/2 ∨ z = 0

e^1/4·x = 1/2 --> x = - 4·LN(2) = - 2.773

f(- 4·LN(2)) = - 7/4 = - 1.75 --> HP(- 2.773 | - 1.75)

Wendepunkte f''(x) = 0

1/16·e^1/4·x - 1/4·e^1/2·x = 0

1/16·z - 1/4·z² = 0 --> z = 1/4 ∨ z = 0

e^1/4·x = 1/4 --> x = - 8·LN(2) = - 5.545

f(- 8·LN(2)) = - 29/16 = -1.813 --> WP(- 5.545 | -1.813)

Weil es mehrere Möglichkeiten gibt die Art des Extremums zu bestimmen lasse ich dir die Wahl.