Bestimme die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen der Funktion f mithilfe der zweiten Ableitung

Question

Frage steht oben .

Aufgabe dazu:
f(x)=x^3-x^2+1

bitte mit Erklärung dazu :)
Dankeschön schonmal.

Answer 1

 

die notwendige Bedingung für einen Hochpunkt des Graphen der Funktion f(x) ist, dass deren erste Ableitung = 0 ist.

Die hinreichende Bedingung ist dann, dass die zweite Ableitung von f(x) < 0 ist.

 

Die notwendige Bedingung für einen Tiefpunkt des Graphen der Funktion f(x) ist ebenfalls, dass deren erste Ableitung = 0 ist. Die hinreichende Bedingung ist dann, dass die zweite Ableitung von f(x) > 0 ist.

 

Wir berechnen also zunächst einmal die 1. und die 2. Ableitung:

f(x) = x³ - x² + 1

f'(x) = 3x² - 2x

f''(x) = 6x - 2

 

3x² - 2x = 0

x * (3x - 2) = 0

x₁ = 0

3x - 2 = 0

x₂ = 2/3

 

Jetzt beides zur Überprüfung in f''(x) eingesetzt:

f''(0) = 6 * 0 - 2 = -2 < 0, also Hochpunkt (B) an (0|f(0)) = (0|1)

f''(2/3) = 6 * 2/3 - 2 = 4 - 2 = 2 > 0, also Tiefpunkt (A) an (2/3|f(2/3)) = (2/3|8/27 - 4/9 + 1) = (2/3|8/27 - 12/27 + 27/27) =

(2/3| 23/27)

 

 

Besten Gruß

Answer 2

Hi,

f(x) = x^3-x^2+1

f'(x) = 3x^2-2x

f''(x) = 6x-2

 

Extrema bei f'(x) = 0

3x^2-2x = 0

x(3x-2) = 0

x₁ = 0

x₂ = 2/3

Damit in die zweite Ableitung.

f''(0) < 0    -> HP

f''(2/3) > 0   -> TP

 

Damit nun wieder in die Ausgangsfunktion um den y-Wert zu bestimmen:

H(0|1)

T(2/3|0,85)

 

Grüße