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ich habe folgendes Problem.....

Ich soll die Variablen A,B,C,D und E rechnen

und ich habe keine Ahnung wie ich anfangen soll, da es 1. mehrere Variablen sind und 2. mit lim ist...


danke im Voraus


mfg

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1)
lim (x --> ∞) f(x) = 0 --> A = 0

2)
(x - 1)^2 = x^2 - 2·x + 1 --> D = -2 ; E = 1

3)
f(0) = 9 --> C = 9
f(-4) = 4 --> B = -22.75

f(x) = (-22.75·x + 9)/(x^2 - 2·x + 1)

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Da der Grenzwert von f(x) wenn das x zu endlich ist gleich Null ist, folgt es dass der Grad des Nenners größer sein muss als der Grad des Zählers. Davon folgt also dass A=0 sein muss. 

Eine Polstelle ist eine  Definitionslücke. Das bedeutet dass x=1 eine Nullstelle des Nenners ist.
Da diese Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ist, haben wir dass die Funktion auf beiden Seiten der Polstelle gegen +∞ oder auf beiden Seiten gegen −∞ läuft. 

Da die 1 eine Nullstelle des Nenners ist haben wir folgendes: $$1^2+D\cdot 1+E=0 \Rightarrow 1+D+E=0\Rightarrow D=-1-E$$ Ausserdem haben wir dass die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ist, das bedeutet die Nullstelle des Nenners gerader Ordnung sein, also müssen im Nenner ein Quadrat haben:$$x^2+Dx+E=x^2+(-1-E)x+(\sqrt{E})^2$$  Es muss also gelten: $$-1-E=2\cdot \sqrt{E}\Rightarrow (-1-E)^2=(2\cdot \sqrt{E})^2 \Rightarrow 1+2E+E^2=4E\Rightarrow 1-2E+E^2=0 \Rightarrow (1-E)^2=0 \Rightarrow E=1$$ 

Davon folgt es auch dass D = -1-1=-2. Wir haben also $$f(x)=\frac{Bx+C}{x^2-2x+1}$$

Wir haben dass die Punkte (0;9) und (-4;4) auf dem Graphen der Funktion liegen. Wir haben also folgendes: 

$$f(0)=9\Rightarrow C=9$$ $$f(-4)=4 \Rightarrow \frac{-4B+C}{16+8+1}=4\Rightarrow \frac{-4B+9}{25}=4\Rightarrow -4B+9=100 \Rightarrow 4B=-91 \Rightarrow B=-\frac{91}{4}$$ 

Wir haben also die Funktion $$f(x)=\frac{-\frac{91}{4}x+9}{x^2-2x+1}$$

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:-)

1)
lim(x->oo) (A + B/x + C/x^2)/(1 + D/x + E/x^2) = 0  ==> A = 0

2)
1 + D + E = 0 und Nenner hat die Form (x + v)^2 = x^2 + Dx + E
==> v = D/2, v^2 = E
Polstelle bei x=1
(1 + D/2)^2 = 0 ==> D = -2, E = 1
Probe
1 + D + E = 1 - 2 + 1 = 0

3)
f(0) = 9
(Ax^2 + Bx + C) / (x^2 + Dx + E) = 9
(0*(0)^2 + B*0 + C) / (0^2 - 2*(0) + 1) = 9
C = 9

f(-4) = 4
(0*(-4)^2 + B*(-4) + 9) / ((-4)^2 + (-2)(-4) + 1) = 4
(-4B + 9) / 25 = 4
-4B + 9 = 100
B = -22,75

f(x) = (-22,75x + 9) / (x^2 -2x + 1)

Grüße

P.S. Korrektur Vorzeichenfehler: C=9 statt C=-9 und daher B = -22,75 statt -27,75

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