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Form einer Gebrochenrationalen Funktion

Eine Gebrochenrationale Funktion ist sozusagen eine Funktion in Bruchform. Sie wird in folgender Form: f(x) = Z(x) / N (x) dargestellt.

Dabei beschreibt Z(x) das Z├Ąhlerpolynom und N(x) den Nennerpolynom. Einzeln betrachtet sind N(x) und Z(x) ganzrationale Funktionen.

Der Grad von N(x) muss mind. 1 sein. Das bedeutet im Nenner muss mindestens ein x in der 1. Potenz (x^1 = x) vorkommen.

Ein Beispiel: f(x) = (3x┬▓ + x) / (x + 1)

Echt oder unecht gebrochen ?

Bei einer echt gebrochenrationalen Funktion ist der Grad von Z(x) kleiner wie der Grad von N(x)

Beispiel: f(x) = (x+1) / (x┬▓+x+1)

Bei einer unecht gebrochenrationalen Funktion ist der Grad von Z(x) gr├Â├čer wie der Grad von N(x)

Beispiel: f(x) = (x┬│ +1) / (x┬▓ -x)

Solche kann man immer als Summe einer gantrationalen Funktion und einer echt gebrochen rationalen Funktion schreiben.

Im Beispiel : f(x) = (x┬│ +1) / (x┬▓ -x) = x+1 + ( x +1) /  (x┬▓ -x)

Definitionsl├╝cken

Die Definitionsl├╝cken beschreiben die reelen Zahlen, f├╝r welche der Funktionsterm nicht definiert ist. Die Definitionsl├╝cken sind die NST  vom Nennerpolynom, die nicht zugleich auch Nullstellen des Z├Ąhlerpolynoms sind.

Beispiel: f(x) = (2x^4 + x┬▓) / (x-1)

x -1 ist der Nennerpolynom. Die Nullstellen davon sind die Definitionsl├╝cken der Gebrochenrationalen Funktion.

0 = x - 1 ---> 1

Die Definitionsmengen werden folgenderma├čen dargestellt:

ID = IR \ {1}

Zwei Arten der Definitionsl├╝cken

a) Die Nullstelle des Nennners ist gleichzeitig auch Nullstelle des Z├Ąhlers. In diesem Fall liegt eine hebbare L├╝cke vor. Das bedeutet im Graphen der Funktion ist an dieser Stelle sozusagen ein "Loch"

b)Die Nullstelle des Nenners ist nicht gleichzeitig auch Nullstelle des Z├Ąhlers. An dieser Stelle liegt eine Polstelle bzw. eine senkrechte Asymptote vor.

Nullstellen der Funktion

NST = Schnittpunkte mit der x-Achse und y ist gleich 0

Um die NST der gesamten gebrochenrationalen Funktion zu ermitteln, wird das Z├Ąhlerpolynom Null gesetzt.

Beispiel: f(x) = (x+1) / (x┬▓+x+1)

0 = x +1 --> -1. Die Nullstelle ist also bei - 1

Zusammenfassung:

Funktionsterm ist ein Quotient zweier ganzrationale Funktionen.

Nullstellen vom Nenner sind die Definitionsl├╝cken der gebrochenrationale Funktionen

Definitionsl├╝cken werden aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen

Nullstellen vom Z├Ąhler sind die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion


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geschlossen: Mathe-Artikel
von

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Hallo Jasmin,

a) Die Nullstelle des Nenners ist gleichzeitig auch Nullstelle des Z├Ąhlers. In diesem Fall liegt eine hebbare L├╝cke vor. Das bedeutet im Graphen der Funktion ist an dieser Stelle sozusagen ein "Loch"

Das ist so nicht richtig:

Beispiel:   f(x) =  (x-1) / (x-1)2  

Z├Ąhler und Nenner haben die gleiche Nullstelle x = 1.

Da die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner (2) ┬ágr├Â├čer ist als die im Z├Ąhler (1), liegt keine hebbare L├╝cke sondern eine Polstelle┬ávor.

Gru├č Wolfgang



1 Antwort

+2 Daumen

Die Definitionsl├╝cken beschreiben die reelen Zahlen, welche nicht f├╝r den Funktionsterm definiert sind. Die Definitionsl├╝cken sind die NST von N(x), also vom Nennerpolynom.

besser :
Die Definitionsl├╝cken beschreiben die reellen Zahlen, f├╝r welche der Funktionsterm nicht definiert ist. Die Definitionsl├╝cken sind die NST von N(x), also vom Nennerpolynom.

Bei einer unecht gebrochenrationalen Funktion ist der Grad von Z(x) gr├Â├čer wie der Grad von N(x)

Beispiel: f(x) = (x┬│ +1) / (x┬▓ -x)

Solche kann man immer als Summe einer gantrat. Fkt und einer echt gebr. rat. Funkt. schreiben

im Beispiel : f(x) = (x³ +1) / (x² -x) = x+1 + ( x +1) /  (x² -x)


0 = x - 1 ---> 1ist eine Def.l├╝.

Die Definitionsmengen werden folgenderma├čen dargestellt:

ID = IR \ {1}

Nullstellen vom Z├Ąhler , die keine Nullstellen des Nenners sind, sind die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion

eventuell k├Ânnte man noch was ├╝ber Asymptoten reinbringen.


von 152 k

Hi mathef, das sind wichtige Erg├Ąnzungen, sehr gut. K├Ânntest du bitte diese oben in den Artikel einarbeiten.

Danke,
Kai

das mit dem kleiner wie hattest du ja schon bemerkt

irgendwo war auch einzelnt statt einzeln aufgetaucht.

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