Zeigen Sie die folgende Äquivalenz? f ist stetig auf R <==> f ist stetig in 0.

Question

Aufgabe:

Es sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ eine Funktion mit $f(0)=-1$ und $f(x+y) \leq-f(x) f(y)$ für alle $x, y \in \mathbb{R}$.

Zeigen Sie die folgende Äquivalenz:

$f$ ist stetig auf $\mathbb{R} \Leftrightarrow f$ ist stetig in $0 .$

Comments

Hast Du Dir für die Richtung ⇒ schon was ausgedacht?

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Mal eine ganz doofe Frage, reicht für die "⇒" - Richtung nicht aus zu sagen, dass 0 ∈ ℝ und somit wenn f auf ℝ stetig ist, f auch stetig in 0 ist ?

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Ja, so einfach ist das ;). Die andere Richtung ist allerdings interessanter. 

Answer 1

Da $f$ in $0$ stetig ist, gibt es zu jedem $\epsilon > 0$ ein $\delta > 0$ mit $|f(x)-f(0)| = |f(x)+1| < \epsilon$ für alle $x \in (-\delta, \delta)$

Zu zeigen ist, zu jedem $\epsilon > 0$ gibt es ein $\delta > 0$ mit $|f(x)-f(x_0)| < \epsilon$ für alle $x \in (x_0-\delta, x_0+\delta)$

Wähle $\delta > 0$ so, dass gilt $|f(x)+1|< \frac{\epsilon}{|f(x_0)|}$ für alle $x \in (-\delta,\delta)$, dann folgt

$$|f(x) - f(x_0)| = |f(x_0 + z) - f(x_0)|$$

mit $z \in (-\delta,\delta)$, und daraus folgt

$$|f(x)-f(x_0| \le |-f(x_0) f(z) - f(x_0) | = |f(x_0)| |f(z)+1| < |f(x_0) \frac{\epsilon}{|f(x_0)|} = \epsilon$$

Comments

Die Sache hat aber einen Haken: Es folgt nur $$f(x+h)-f(x)\le-f(x)[f(h)-f(0)]$$ und da kann man jetzt nicht einfach so Betragsstriche dran machen. Es koennte ja z.B. $$-10\le5$$ sein.

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Und wie beheben wir das jetzt?