Berechnung Potenz einer Matrix vereinfachen

Question

Ich soll die Berechnung einer Potenz einer Matrix durch Eigenwerte und Eigenvektoren vereinfachen. Die Aufgabe lautet: 



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Das Losungsfeld ist so Angegeben:

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siehe Kommentar bei ulim ...

Answer 1

Berechne die Eigenwerte und -vektoren, dann sehen wir weiter.

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Ich habe versucht, die Eigenwerte und Eigenvektoren zu berechenen. Muss ich hier schon den Exponenten beachten? Oder kann dieser im Nachhinein mit einberechnet werden. Ich habe es jetzt erstmal Ohne gemacht: 

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Du hast die Eigenvektoren noch nicht bestimmt. Da \( \det(A-\lambda I ) = 0 \) gilt, hat diese Gleichung natürlich unendlich viele Lösungen. Finde eine.

Jetzt suche eine Matrix \( S \) mit \( S^{-1} A S = D \) und \( D \) ist eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonale.

Die Mastrix \( S \) enthält die Eigenvektoren als Spalten.

Danach kannst Du \( A^7 \) berechnen durch \( S D S^{-1} \cdots S D S^{-1} = S D^7 S^{-1} \)

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Ich habe jetzt mal versucht es weiterzurechnen. Aber am Ende finde dich da keine wirkliche Vereinfachung des gesamten Terms. Deswegen die Frage, ob ich bis dahin richtig gerechnet habe?

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Hierzu noch als Ergänzung der Rest von der Lösung. Einmal ausgerechnet und einmal in der gewünschten Form (siehe Aufgabenstellung). Könnte jemand prüfen, ob das soweit alles richtig ist?

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Ich konnte die Ergebnisse grad kontrollieren lassen. Die passen :-)

Vielen Dank für die Hilfe und schöne Festtage noch. Beitrag kann geschlossen werden.