Satz des Pythagoras : b) Wie lang sind die Hypotenusenabschnitte?

Question

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 8cm und b = 4cm .

a) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, die Hypotenuse c und daraus die Höhe h c des Dreiecks

b) Wie lang sind die Hypotenusenabschnitte ?

Comments

So zum Thema, schau mal hier vorbei:

https://www.mathelounge.de/48029/mathe-artikel-der-satz-des-pythagoras

Da wird das Thema ausführlich behandelt.

Answer 1

Zu a) Der Flächeninhalt F eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b ist gleich dem halben Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seiten a und b, also:

F = ( a * b ) / 2 = 8 * 4 / 2 = 16 cm ²

Sei c die Hypotenuse. Dann gilt (Pythagoras):

c = √ ( a ² + b ² ) = √ ( 8 ² + 4 ² ) = √ 80  = 8,94 cm (gerundet)

Der Flächeninhalt kann auch durch die Formel

F = c * h _c / 2

berechnet werden. Bei bekanntem Flächeninhalt und bekannter Länge der Seite c kann man daraus die Höhe h_c herleiten:

h _c = 2 * F / c = 2 * 16 / √ 80 = 3,58 cm ( gerundet =

Zu b )

Die beiden Hypotenusenabschnitte p und q addieren sich zur Länge der Seite c, also:

c = p + q

<=> p = c - q

Außerdem gilt der Höhensatz des Euklid:

h _c ² = p * q

Setzt man hier für p den Term c - q ein erhält man:

h _c ² = ( c - q ) * q = c q - q ²

<=> q ² - cq = - h _c²

<=> q ² - cq + ( c / 2 ) ² = - h ² + ( c / 2 ) ²

<=> ( q - ( c / 2 ) ) ² = - h ² + ( c / 2 ) ²

<=> q - ( c / 2 ) = ± √ ( - h ² + ( c / 2 ) ² )

<=> q = ± √ ( - h ² + ( c / 2 ) ² )  + ( c / 2 )

Setzt man nun die bekannten Werte ein erhält man:

q = ± √ ( - 3,58 ² + ( 8,94 / 2 ) ² )  + ( 8,94 / 2 ) = ± 2,68 + 4,47

<=> q = 1,79 ODER q = 7,15 

Aus p = c - q folgt daraus:

p = 8,94 - 1,79 = 7,15 ODER p = 8,94 - 7,15 = 1,79

Die Hypotenusenabschnitte sind also 1,79 und 7,15 cm lang.