Glühwein Knobelaufgabe

Question

Der Weihnachtsmann hat es sich gemütlich gemacht. Der Kamin lodert und
inzwischen ist es im Raum 25°C. Genau um 20:00 Uhr nimmt er seinen Topf
mit dem Glühwein vom Herd. Zu dieser Zeit hat der Glühwein eine
Temperatur von genau 90°C. Au weia, denkt er, das ist etwas zu heiß, da ist
doch schon zu viel Alkohol entwichen. Um sich nicht zu verbrennen, wartet
er eine Viertelstunde, doch auch dann hat der Glühwein immer noch 80°C. Er
muss weiter warten.
Um wieviel Uhr hat der Glühwein seine Lieblingstrinktemperatur von 70°C?

Verwenden Sie die Abklingfunktion T(t)=a*e^λt+b, die in Abhängigkeit von der Zeit t die
Temperatur T beschreibt. Bestimmen Sie zunächst die Parameter a,b und λ.

Tipp: Bestimmen Sie zuerst den Parameter b, indem Sie die Funktion für t gegen unendlich betrachten. Anschließend können die Parameter a und λ mit Hilfe der Temperaturangaben berechnet werden. 

Über eure Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

Für t gegen unendlich ist (da Lambda negativ ist ) der Grenzwert b, also b=25 ;

denn nach "unendlich" langer Zeit hat der Topf die raumtemperatur angenommen.

Also gilt T(t) = a*e^λt + 25 

t=0 ==>  T=90°  und t=15 ==>  T=80 also 

90 = a*e^λ*0 + 25     und   80 = a*e^λ*15 + 25 

65 = a                    und  80 = 65 * e^15λ + 25 

             ==>     55/65 =  e^15λ  

                           ln(0,8462) = 15λ

                                        λ = -0,0111

Also T(t) = 65*e ^-0,0111t + 25 

           70 =  65*e ^-0,0111t + 25 

              45/65 = e ^-0,0111t

          ln(45/65)  =  -0,0111*t

             33 = t .

Um 20:33h sollte er ein Schlückchen nehmen.