x+y=konstant, dann ist x*y=maximal bei x=y

Question

ich habe die These aufgestellt, dass wenn die Summe von x und y konstant ist, x mal y maximal ist bei x=y. Hier nochmal kurz formuliert:

x+y=konstant, dann ist x*y=maximal bei x=y.

Ich habe das empirisch schon überprüft und dort passt es immer.

Kann jemand diese These via Rechnung begründen? Ich sitze schon relativ lange daran, mir fällt jedoch kein anständiger Lösungsansatz ein.

Ich würde mich über eure Hilfe freuen.

LG

Niklas

Answer 1

x+y=constant=c

--> y=c-x

x*y=x*(c-x)=-x^2+cx=f(x)

f'(x)= -2x+c=0 --> c=2x --> x=c/2

y=c-x=c-c/2 =c/2=x 

Passt!

Answer 2

S = x + y --> y = S - x

P = x * y = x * (S - x) = S * x - x^2

P' = S - 2 * x

P'' = -2

Maximum bei P' = 0

S - 2 * x = 0 --> x = S/2

y = S - x = S - S/2 = S/2

Da P'' < 0 ist, ist dies auf jeden Fall ein Maxiumum.