Funktionenschar gemeinsame punkte

Question

f_t (x) =  ( e^x  - t )²

 

Können verschiedene Graphen der Schar gemeinsame punkte haben?

 

ich dachte mir man muss schauen ob der t -Teil mal gleich sein kann .......

-2t*e^x  +  t²    =   -2k*e^x +   k² 

oder so .......

 

danke für eure Hilfe

Answer 1

Hi,

Dein Vorgehen ist korrekt. Du wirst mit dieser Gleichung auf kein von t unabhängiges Ergebnis kommen. Folglich gibt es keinen gemeinsamen Punkt aller Scharen. Man sieht das schnell, wenn man sich drei Werte für t wählt.

(für t=1, t=2 und t=3)

 

Grüße

Comments

gemeinsame Punkte sind für t₁ + t₂  > 0

 

S  (        ln(0.5 t₁ + 0.5t₂)  /          f(ln(0.5 t₁ + 0.5t₂ ) )

Answer 2

Es war ja nicht gefragt ob alle Graphen der Schar einen Punkt gemeinsam haben sondern auch ob zwei Graphen gemeinsame Punkte haben:

"Können verschiedene Graphen der Schar gemeinsame punkte haben"

Da berechnet man den Schnittpunkt für zwei Scharparameter

(e^x - t)^2 = (e^x - s)^2

Entweder
e^x - t = e^x - s
-t = -s

Oder 
e^x - t = -(e^x - s)
e^x - t = s - e^x
2·e^x = s + t
e^x = 1/2·(s + t)
x = ln(1/2·(s + t))

f(ln(1/2·(s + t))) = (1/2·(s - t))^2 = 1/4·(s - t)^2

Schnittpunkt S(ln(1/2·(s + t)), 1/4·(s - t)^2)