Einen Vektor auf einen anderen projizieren. Kann mir das jemand erklären?

Question

Situation


Was weiss ich ?
Ich sehe dass wenn ein Vektor b auf einen anderen Vektor a projeziert wird, dass zunächst ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Dabei ist die Hypotenuse der Vektor b.

Wieso ?
Warum ist die Ankathete bzw. die Projektion Betrag vom Vektor b auf a eigentlich so definiert: 
IbI*cos(φ)

Kann mir das jemand zeigen ? Eventuell mit Pythagoras ?

Was ich wirklich nicht verstehe
Ich weiss, dass die Länge eines Vektors auch nach Pythagoras gerechnet wird, wieso steht aber im Bild unten der Betrag von b und die Hypotenuse bleibt als Vektor bestehen?

Answer 1

Was weiss ich ?
Ich sehe dass wenn ein Vektor b auf einen anderen Vektor a projeziert wird, dass zunächst ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Dabei ist die Hypotenuse der Vektor b und die Länge der Hypotenuse ist |b|.

Wieso ?
Ist die Ankathete bzw. die Projektion Betrag vom Vektor b auf a eigentlich so definiert:
IbI*cos(φ). Nenne die Projektion x. Die Definition des cos ist dann cos(φ)=x/|b|. Löse nach x auf. x=IbI·cos(φ).

Comments

Vielen Dank !

(1) Das heisst, bei der Projektion soll ich immer die Länge (Betrag) des Vektors nehmen, der projeziert wird?

(2) Die Definition der Ankathete sehe ich jetzt. 

---

Der cos ist für Längen definiert, nich für Vektoren.

Answer 2

Hallo limonade,

der Winkel p im Bild soll φ  heißen.

Nennen wir Strecke AD = s

→  cos(φ)  =  s / |\(\vec{b}\)|  →  s = |\(\vec{b}\)| *  cos(φ)

projizierter Vektor:

\(\overrightarrow{AD}\)  =  |\(\vec{b}\)| *  cos(φ) * 1/|\(\vec{a}\)| * \(\vec{a}\)

(  1/|\(\vec{a}\)| * \(\vec{a}\)  ist der Vektor in Richtung von \(\vec{a}\), der die Länge 1 hat ) 

Gruß Wolfgang