Lösen Sie mit Hilfe der Fouriermethode die partielle DGL u_tt=a2*u_xx für a>0, 0<=x<=pi, t>0 mit RB und AB

Question

 

Ich habe wieder ein paar knifflige Aufgaben, bei denen ich nicht weiterkomme:

Lösen Sie mit Hilfe der Fouriermethode die partielle DGL u_tt=a²*u_xx für a>0, 0<=x<=pi, t=>0 mit den folgenden Rand- und Anfangsbed.:

Answer 1

Siehe http://theory.gsi.de/~vanhees/faq-pdf/Wellengleichung.pdf Kapitel 2.4.2

Comments

Zuerst einmal Danke für den Link!

Ich habe es leider nicht ganz geschafft :(

Ich bin so weit (siehe Fotos unten) gekommen und weiß weder, ob es so richtig verstanden und gelöst wurde, noch wie es weiter gehen soll...

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Schau Dir das mal an. Vielleicht kommst Du damit klar.

Hi, vorgehen im Prinzip wie in https://www.mathelounge.de/508451/bestimmen-die-losung-der-partielle…

Hier ist $\nu = a$, $a(x) = \sin(x)$, $b(x) = 24 \sin^5(x)$ und $l = \pi$

Damit ergibt sich $u_n(x,t)$ zu
$$u_n(x,t) = \sin(nx) \left[ c_n \sin(ant) + d_n \cos(ant) \right]$$
Den Term $24 \sin^5(x)$ kann man zerlegen in $24 \sin^5(x) = 15 \sin(x) - \frac{15}{2} \sin(3x) + \frac{3}{2} \sin(3x)$
Damit ergeben sich die Koeffizienten $c_n$ und $d_n$ zu $d_1 = 1$ alle anderen sind Null und
$c_1 = \frac{15}{a}$, $c_3 = -\frac{5}{2a}$ und $c_5 = \frac{3}{10a}$

Insgesamt ergibt sich
damit die Lösung zu
$$u(x,t) = u_1(x,t) + u_3(x,t) + u_5(x,t)$$ mit
$$u_1(x,t) = \sin(x) \left[ \frac{15}{a} \sin(at) + \cos(at) \right]$$
$$u_3(x,t) = -\frac{5}{2a} \sin(3x) \sin(3at)$$
$$u_5(x,t) = \frac{3}{10a} \sin(5x) \sin(5at)$$

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Ok, jetzt habe ich es endlich verstanden :)

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung und deine Zeit!