Vollständige Induktion Fakultät Binomialkoeffizient

Question

Ich habe hier diese Aufgabe aus einer Probeklausur aber komme mittels vollständiger Indktion nicht auf die richtige Lösung. Auch wenn ich alle Binomialkoeffizienten umschreibe und Fakultäten kürze bleiben immer die n potenzen über. Kann vielleicht jemand helfen bin auch möglicherweise noch nicht auf den richtigen Ansatz gekommen!

Danke

Comments

Vereinfache mal (n+1 tief 2) 

Das müsste ungefähr so herauskommen:

 ((n+1)*n)/2 =  (n^2 + n)/2 

Erst mal meine Umformung kontrollieren und dann nochmals deinen Beweis anschauen. 

Answer 1

Für n=1 stimmt es ja.

Dann nimm an, es stimmt für ein n und

betrachte dann die Summe bis n+1.

Die ist gleich der Summe bis n  + den (n+1)-ten Summanden

Und für die Summe bis n setzt du die Formel ein

und hast dann 

( -1) ⁿ⁺¹ * ( n+1 über 2 )    +    (-1)ⁿ⁺² *(n+1)²   

= (-1)ⁿ⁺¹ * (  (n+1)*n / 2  +  (-1) * ( n² + 2n + 1) ) 

= (-1)ⁿ⁺¹ * (  (n+1)*n / 2    -  ( n² + 2n + 1 )  ) 

= (-1)ⁿ⁺¹ * (  (n² + n) / 2    -  ( 2n² + 4n + 2 )/2   ) 

= (-1)ⁿ⁺¹ * (  (n² + n  - 2n² - 4n - 2 )/2   ) 

= (-1)ⁿ⁺¹ * (  (- n²  - 3n - 2 ) /2   ) 

= (-1)ⁿ⁺¹ * ( (-1)* (  n²  + 3n  + 2 ) /2   ) 

= (-1)ⁿ⁺² * (  n²  + 3n  + 2 ) /2   

= (-1)ⁿ⁺² * (  n+1)(n+2) ) /2

= (-1)ⁿ⁺² * (  n+2  über 2 )   Bingo !

Comments

Besten Dank mein Fehler lag darin aus dem negativen Term die (-1) auszuklammern!

Danke