Vollständige Induktion Binomialkoeffizient Fakultät Summe k*(k!)=(n+1)!-1

Question

Aufgabe:

Geben Sie alle natürlichen Zahlen n an, für die gilt: (Per Vollständige Induktion)

$$ \sum \limits_{k=1}^{n} k(k!)=(n+1)!-1 $$

Problem/Ansatz:

Ich komm nicht auf das richtige Ergebnis.

ich weiß, das folgendes gilt: $$ (n+2)!=(n+2)*(n+1)! $$

Habe aufgehört bei der Stelle weiterzurechnen (Siehe Bild):

Answer 1

Du kannst die -1 nicht mit ausklammern.

Induktionsschritt:$$\sum \limits_{k=1}^{n+1}k\cdot k!=\sum \limits_{k=1}^{n}k\cdot k!+(n+1)\cdot (n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)\cdot (n+1)!=(n+1)!(1+n+1)-1=(n+1)!(n+2)-1=(n+2)!-1$$

Answer 2

Zu zeigen:

∑ (k = 1 bis n) (k·k!) = (n + 1)! - 1 für n ≥ 1

Induktionsanfang: n = 1

∑ (k = 1 bis 1) (k·k!) = (1 + 1)! - 1
1·1! = 2! - 1
1 = 1
wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

∑ (k = 1 bis n + 1) (k·k!) = ((n + 1) + 1)! - 1
∑ (k = 1 bis n) (k·k!) + (n + 1)·(n + 1)!= (n + 2)! - 1
(n + 1)! - 1 + (n + 1)·(n + 1)! = (n + 2)! - 1
(1 + (n + 1))·(n + 1)! - 1 = (n + 2)! - 1
(n + 2)·(n + 1)! - 1 = (n + 2)! - 1
(n + 2)! - 1 = (n + 2)! - 1
wahr