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Es sei F: ℝn×m  × ℝm×k  → ℝn×k  definiert durch F(A,B) = AB. Was ist die Ableitung DF(A,B)(C,D)?

Und es sei H: Gl(n) → Gl(n) definiert durch H(A) = A-1 . Was ist die Ableitung DF(A)(B)?


Danke.

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Das geht gerade so wie in Deiner anderen Frage zum gleichen Thema, die Du letzte Woche gestellt hattest: (A+C)(B+D)AB=CB+AD+CD(A+C)(B+D)-AB=CB+AD+CD und also DF(A,B)(C,D)=CB+ADDF(A,B)(C,D)=CB+AD, denn CD=o((C,D))CD=o(\lVert(C,D)\rVert).

Wie man für HH vorgeht, ist in der Antwort von letzter Woche ebenfalls schon enthalten (Neumannsche Reihe). Es ergibt sich DH(A)(B)=A1BA1DH(A)(B)=-A^{-1}BA^{-1}.

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Kannst du mir den Schritt mit der Neumannschen Reihe noch einmal kurz erklären, weil da hängt es bei mir?

Mal andersrum gefragt: Hast Du eigentlich die Theorie (wenigstens die Definition des Differentials) zu diesem Thema angeschaut?

Siehe wenigstens mal da: https://de.wikipedia.org/wiki/Fréchet-Ableitung

Finden sollst Du eine Darstellung der folgenden Art: H(A+B)H(A)=LA(B)+o(B),H(A+B)-H(A)=L_A(B)+o(\lVert B\rVert), wobei LA(B)L_A(B) in BB linear sein soll. In Deiner Notation ist dann DH(A)(B)=LA(B)DH(A)(B)=L_A(B).

Das faengt also an mit (A+B)1A1=(A+B)^{-1}-A^{-1}=\ldots und weil (A+B)1=(A(E+A1B))1=(E+A1B)1A1(A+B)^{-1}=(A(E+A^{-1}B))^{-1}=(E+A^{-1}B)^{-1}A^{-1} ist, entwickeln wir dazu (E+A1B)1(E+A^{-1}B)^{-1} mit der Neumannschen Reihe. Schreib mal auf, was da rauskommt.

ich habe mich nun bis ins Detail durchgearbeitet und verstehe nur noch eine Frage nicht:

Was bedeutet die Begründung "denn CD=o(∥(C,D)∥)"??

Dass lim(C,D)(0,0)CD(C,D)=0\lim_{(C,D)\to(0,0)}\frac{\lVert CD\rVert}{\lVert(C,D)\rVert}=0 ist. Siehe Landau-Symbole

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