Zeigen Sie, dass Kern(ϕ) ein Untervektorraum von V ist.

Question

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K, und sei ϕ: V → V ein Endomorphismus von V.

(a) Zeigen Sie, dass Kern(ϕ) ein Untervektorraum von V ist.

(b) Zeigen Sie: ϕ ist injektiv genau dann, wenn Kern(ϕ) = {0}.

(c) Seien v und w Eigenvektoren von ϕ zu zwei verschiedenen Eigenwerten λ ≠ µ in K. Zeigen Sie, dass v und w linear unabhängig sind.

Answer 1

ei V ein Vektorraum über einem Körper K, und sei ϕ: V → V ein Endomorphismus von V.





(a) Zeigen Sie, dass Kern(ϕ) ein Untervektorraum von V ist.

Seien u,v aus Kern(ϕ) . Dann gilt ϕ(u)=0 und   ϕ(v)=0

==>   ϕ(u+v)= ϕ(u) + ϕ(v) (wegen Endomorphismus)

                    =  0   +  0   = 0 

Sei x∈ℝ und v aus Kern(ϕ)  dann zeigst du ähnlich 

                     x*v aus Kern(ϕ)

Außerdem 0 aus Kern(ϕ) .  Damit sind die drei Kriterien

für einen Unterraum erfüllt.

(b) Zeigen Sie: ϕ ist injektiv genau dann, wenn Kern(ϕ) = {0}.

Sei : ϕ injektiv .  Es ist immer  ϕ(0) = 0 . Wenn  ϕ injektiv ist,

gibt es kein anderes v∈V mit  ϕ(v) = 0. Also  Kern(ϕ) = {0}.

Sei nun  Kern(ϕ) = {0} und u,v aus V mit  

 ϕ(u) = ϕ(v)

==>   ϕ(u) - ϕ(v)  = 0 .

==>  ϕ(u - v)  = 0 .

==> u - v aus  Kern(ϕ)

also nach Vor.  u-v=0 ==>  u=v.  Also  ϕ injektiv.