Kurvendiskussion mit gebrochenrationaler Funktion

Question

Hallo

Ich habe hier eine gebrochenrationale Funktion mit f(x)= x² / x+2.

Nun muss ich die Nullstellen, Wendepunkte und Extrempunkte berechnen. Nun habe ich hier einen Bruch! Bei normalen Funktionen kann ich ganz normal ableiten aber mit Bruch komme ich ich nicht weiter.

Für die Nullstellen dachte ich, dass ich mal die Funktion also f(x)=0 setze. Weiß nicht ob das überhaupt richtig ist. Aber ich habe außer der x² nichts stehen. Aber wenn ich den unteren Teil also den Nenner gleich Null setzte dann kommt ja -2  heraus. Welches wäre denn richtig? Nenner gleich Null oder Zähler gleich Null setzen für Nullstellen?

Für die Nullstellen muss man zwar nichts ableiten aber ich komme nicht weiter.

Auch bei den Ableitungen weiß ich nicht wie ich diesen Bruch ableiten soll.

Comments

Lautet die Aufgabe so?

$$\frac{x^2}{x+2}$$

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ja genau so. Ich konnte nur nicht in Bruch aufschreiben wie du es gemacht hast. Aber so lautet sie

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Nullstellen: Zähler Null setzen!

Der Nenner darf nicht Null werden:

Zum Ableiten kannst du die Fkt. auch so schreiben: x²*(x+2)^-1

Damit kannst du mit der Produktregel ableiten, falls du die Quotientenregel nicht magst oder kennst.

Zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 1

Lautet die Aufgabe so?

$$\frac{x^2}{x+2}$$

Dann lautet die erste Ableitung:

f'(x)=(x(x+4))/(x+2)²

Nun musst die Nullstellen dieser Funktion suchen:

(x+2)²=0       √

x+2=0              -2

x=-2

(Definitionslücken sind (-2))

(x²+4x)=0*(x+2)²

x²+4x=0

------> PQ-Formel

x₁=-4

x₂=0

(x+2)²=4

x+2=±√4

x₁+2=√4

x₁+2=2

x₁=-2+2

x₁=0

x₂+2=-√4

x₂+2=-2

x₂=-2-2

x₂=-4

Nullstellen der ersten Ableitung:

x₁=0

x₂=-4

Für die Extremstellen musst du diese Punkte nun in die Stammfunktion einsetzen:

f(x)= x²/(x+2)

f(0)=0

f(-4)=-4²/(-4+2)=8

Ich hoffe, dass ich helfen konnte

Anton

Comments

Vielen Lieben Dank für deine Hilfe! Allerdings komme ich bei der 2 und 3 Ableitung nicht weiter. Diese gebrochenrationale Funktionen machen mir verrückt weil man da nie sicher gehen kann ob die Ableitungen schon stimmen. Ohne Bruch ist es ja kein Problem aber ich komme einfach nicht weiter. Weil in der ersten Ableitung steht ja im Zählen schon ein Produkt  

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Hallo abx729,

Hier die Quelle:

https://www.derivative-calculator.net/

Answer 2

falls die Funktion so lautet:  y=x²/(x+2)

- Nullstellen : Zähler  = 0 x= 0

-Polstellen  Nenner = 0 -------->x= -2

1. Ableitung duch Qutientenregel:

y '=  (x²+4x)/( x²+4x +4)

---------->Zähler = 0 ------>(x²+4x)= 0

x(x+4)=0

x₁=0

x₂= -4

Nachweis MIN /MAX über die 2. Ableitung

Answer 3

$f(x)=\frac{x^2}{x+2}$     Ableitungsregel:  $[\frac{Z}{N}]'=\frac{Z'\cdot N-Z\cdot N'}{N1^2}$

$f'(x)=\frac{2x(x+2)-x^2}{(x+2)^2}=\frac{x^2+4x}{(x+2)^2}$

$f''(x)=\frac{(2x+4)\red{(x+2)}^2-(x^2+4x) \cdot 2\red{(x+2)}}{\red{(x+2)}^4}$   Kürzen:

$f''(x)=\frac{(2x+4)(x+2)-(x^2+4x) \cdot 2}{(x+2)^3}$ Nur den Zähler vereinfachen:

$f''(x)=\frac{8}{(x+2)^3}$ 

$f'''(x)=\frac{0\cdot (x+2)^3-8\cdot 3(x+2)^2}{(x+2)^6}=\frac{-24}{(x+2)^4}$

$f'''(x)=\frac{0\cdot (x+2)^4-(-24)\cdot 4(x+2)^3}{(x+2)^8}=\frac{96}{(x+2)^5}$