Kurvendiskussion: f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x

Question

Ich bin so langsam wirklich am verzweifeln und brauche Hilfe!

Es würde mir schon eine ganze Menge bringen wenn ich eine komplette Musterlösung (Nullstellen, Extrema, Wendepunkte) zum erstellen einer Kurvendiskussion hätte.

An folgender Aufgabe beiße ich mir aktuell  die Zähe aus.

Bestimmen sie Nullstellen, Extrema und Wendepunkte der Funktion:

f(x)= x³+6x²+9x

Wie gehe ich hier nun vor und welche Methode muss ich wann anmelden...? (Hornerschema oder pq-Formel zur Nullstellen berechnung weiß ich schonmal..)

wäre lieb wenn ihr mir bei einer Musterlösung helft!

Answer 1

Hi,

Hornerschema brauchts hier nicht. Man kann direkt ein x ausklammern! Aber mal von Vorne

 

Nullstellenbestimmung:

f(x)=x^3+6x^2+9x=x(x^2+6x+9)=0

Direkt abzulesen x₁=0 und mit pq-Formel (oder Erkennen der binomischen Formel): x_2,3=-3

 

Extrema:

Es gilt erstmal abzuleiten, denn für Extrema muss gelten f'(x)=0 und f''(x)≠0

f'(x)=3x^2+12x+9

f''(x)=6x+12

 

f'(x)=0=3x^2+12x+9

Bspw mit der pq-Formel: x₁=-1 und x₂=-3

Damit in zweite Ableitung:

f''(-1)=6  >0 -> Tiefpunkt

f''(-3)=-6 <0 -> Hochpunkt

 

Mit den Stellen noch in die eigentliche Funktion um den y-Wert zu errechnen:

Maximum H(-3|0)

Minimum T(-1|-4)

 

Wendepunkte:

Liegt vor wenn f''(x)=0 und f'''(x)≠0

f''(x)=6x+12=0

x=-2

Damit in die dritte Ableitung die lautet f'''(x)=6

Es ist also f'''(-2)≠0.

 

Mit dieser Stelle wieder in f(x) um den y-Wert zu erhalten.

-> W(-2|-2)

 

Alles klar?

 

Grüße

Answer 2

f(x) = x^3 + 6·x^2 + 9·x = x·(x^2 + 6·x + 9)
f'(x) = 3·x^2 + 12·x + 9
f''(x) = 6·x + 12

Nullstellen f(x) = 0
x·(x^2 + 6·x + 9) = 0
x = 0 und x = -3 (Doppelte Nullstelle)

Extrempunkte f'(x) = 0
3·x^2 + 12·x + 9 = 0
x = -3 und x = -1

f(-3) = 0 (Hochpunkt)
f(-1) = -4 (Tiefpunkt)

Wendepunkte f''(x) = 0
6·x + 12 = 0
x = -2

f(-2) = -2

Skizze:

Comments

Hi ich bin keine mathe expert aber bei extrem werten hast du fehler mit vor zeichen vor der würzel wierd 2 stehen ohne -