Zu zeigen: P(A ∪ B) * P(A ∩ B) ≤ P(A) * P(B)

Question

Es sei (Ω;A; P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie: 

P(A ∪ B) * P(A ∩ B) ≤ P(A) * P(B)

Wie kann ich das zeigen? 

Answer 1

a = P(A) ; b = P(B) ; c = P(A ∩ B)

P(A ∪ B) * P(A ∩ B) ≤ P(A) * P(B)

(a + b - c)·c ≤ a·b

a·c + b·c - c^2 ≤ a·b

c^2 - a·c - b·c + a·b ≥ 0

(c - a) * (c - b) ≥ 0

(a - c) * (b - c) ≥ 0

Da a und b auf jeden Fall ≥ c sind, ist die Gleichung erfüllt.