Wie berechnet man die darstellende Matrix?

Question

Gegeben ist eine lineare Abbildung α: ℝ^3 → ℝ³ durch x → Ax mit A= 

1 2 1

2 1 3

3 3 0

Man soll nun die darstellende Matrix M_B^B(α) in der Basis B=(e1+e2, e1+e3, e2+e3) berechnen. 

Wie gehe ich nun vor? Wofür steht das e in der Basis? Für Ansätze wäre ich sehr dankbar!

(Die Matrix ist nur eine Beispielmatrix)

Answer 1

Das e steht für einheitsvektor, also e1 =

1
0
0 

und e2 =

0
1
0

etc.

Berechne die drei Basisvektoren, etwa e1+e2 =

1
1
0 

und davon die Bilder.

Diese drei Bilder musst du dann wieder durch die Basisvektoren 

ausdrücken und die dabei benötigten Koeffizienten bilden

die Spalten der gesuchten Matrix.

Comments

 

Also multipliziere ich für die erste Spalte (e1+e2) mit der Matrix A 

und stelle das was rauskommt mit x*(e1+e2)+y*(e1+e3)+... dar? x y z ist dann meine erste Spalte?

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So ist es.

Ich bekomme

0     2     2
3    0      1
3     3      2

Das geht auch mit der Matrix des Basiswechsels.

Die ist  T =

1   1    0
1   0    1
0    1    1

und gibt T^{-1} * A * T auch die gesuchte Matrix.

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Ich bekomme  

1/2	2	1/2
1/2	1	3/2
1/2	-1	-1/2

 raus

                       

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Also                       1            3
                A  *        1      =    3
                              0            6 

und dieses Ergebnis mit den drei Basisvektoren darstellen gibt 

         1                0                  1
0  *    1    +  3*    1     +  3 *     0    
         0                1                  1

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Sorry mein Fehler ich see jetzt mein Rechenfehler.