Untervektorraum und Dimension

Question

ich soll die folgende Aufgabe lösen. Weiss aber nicht wie.

Sei U := {P(t) ∈ K[t] : P(0) = 0} ⊂ K[t])

a)Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum von K[t] ist.

b) Was ist die Dimension von U?

c) Was ist die Dimension von V/U? Hinweis: Betrachten Sie die Abbildung f : V → K mit P(t) → P(0).

Comments

wie ist denn K[t] definiert ?

Alle Polynome, oder nur bis zu einem gewissen Grad ?

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Es wurde nichts dazu gesagt. Ich gehe davon aus das es sich um alle Polynomen handelt.

Answer 1

U enthält ja alle Polynome, die als konstantes Glied die 0 haben.

Dann musst du für a) nur zeigen, dass die Summe zweier Elemnete von U

wieder in U ist und wenn man ein El. von U mit einem Faktor aus

K multipliziert auch und dass das 0-Polynomdazu gehört.

Letzteres ist klar, weil beim Nullpolynom P(t)=0 für alle t aus K gilt,

also auch für t=0.

Bei den anderen beiden bedenke

(P+Q)(t) = P(t) + Q(t) = 0 + 0 = 0 und

k*P(t) = k*0 = 0 .

b) Basis sind die Polynome t , t^2 , t^3 , .... also dim =∞ .

c) Betrachte f und zeige: Das ist eine lin. Abb. mit Kern = U.

Und die Basis des Kerns (aus b) kannst du durch Hinzunahme

von 1 zu einer Basis von V ergänzen. Also dim V/U = 1.