Aber wie beweist man, dass 0 in V bzw. W liegt?
in V , weil
\( \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\)
also liegt der Vektor (1 2) im Kern der 0_matrix.
In W : Es ist
\( \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}= 0 \cdot \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}\)
also ist (1 2) ein Eigenvektor der 0_matrix.
Die Struktur der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation aus M2(IR)
liegt vor, aber du musst die Abgeschlossenheit der Unterräume zeigen.
Für b) überlege bei welchen 2 x 2 Matrizen gilt
\( \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\)
Du findest: a=-2b und c=-2d , also sehen die Elemente von V alle so aus.
\( \begin{pmatrix} -2b&b\\-2d&d \end{pmatrix} \). Die kannst du alle schreiben als
\( b\begin{pmatrix} -2&1\\0&0 \end{pmatrix} + d\begin{pmatrix} 0&0\\-2&1 \end{pmatrix} \)
Da hast du eine Basis, also dim=2. Musst noch die lin. Unabh. zeigen.
