Zeigen Sie, dass Linearformen...

Question

Es seien d ∈ ℕ eine natuerliche Zahl, K ein Koerper mit mindestens (d + 1) Elementen und
V = {ƒ ∈ K[X] | deg(ƒ) ≤ d} der K-Vektorraum der Polynome von Grad hoechstens d. Weiter
seien a_0,.....,a_d ∈ K und für 0 ≤ i ≤ d sei E_i : V → K vermoege E_i(f) = ƒ(a_i) definiert.

Zz ist, dass die Linearformen E₀,....,E_d genau dann eine Basis des Dualraums V*
von V bilden, wenn die a_i paarweise verschieden sind.

Ist es genug, dass ich aus den Zahlen a_i ∈ K Polynome f_i ∈ [X] gebastelt und es in die E_i eingesetzt habe? Was mehr muss ich tun?

Answer 1

Jedes \(\phi\in V^*\) soll genau dann eine Darstellung $$(*)\quad\phi=\lambda_0E_0+\lambda_1E_1+\cdots+\lambda_dE_d$$ mit eindeutig bestimmten Koeffizienten \(\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_d\) besitzen, wenn \(a_0,a_1,\ldots,a_d\) paarweise verschieden sind. Um die Lambdas rauszukriegen, wenden wir (*) nacheinander auf \(1, X,\ldots,X^d\) an. Das ergibt ein LGS für die Lambdas. Schreib das mal auf.

Comments

Ich habe diese Aufgabe auch und der Tipp hilft mir auch sehr weiter. Doch ich stehe iregendwie noch auf dem Schlauch und weiß nicht, wie ich * nacheinander auf 1,X,...X^d anwenden soll und warum ich das machen muss.