Für welches x ist sin(x) die Wurzel aus 1- cos^2(x)?

Question

Was muss x sein damit folgende Gleichung stimmt?

\( \sin (x)=\sqrt{1-\cos ^{2}(x)} \)

Wäre schön wenn ihr einen kurzen Lösungsansatz beschreiben könntet, damit ich das auch nachvollziehen und verstehen kann.

Answer 1

man müsste fast sagen "beliebig", denn diese Gleichung geht auf den sogenannten "trigonometrischen Satz des Pythagoras" zurück, der lautet \(1 = \sin^2(x) + \cos^2(x) \). Man muss allerdings, aufgrund der hier vorliegenden besonderen Darstellungsweise, x auf den Teil der reellen Zahlen einschränken, auf dem sin(x) größer gleich 0 ist:

\( \{ x \in \mathbb{R}: x = a + k \cdot 2 \pi , k \in \mathbb{Z}\ und\ a \in [0, \pi] \subset \mathbb{R} \} \)

MfG

Mister

Answer 2

Hi,

$$ \sqrt{1-\cos^2(x)} = \sqrt{\sin^2(x)+\cos^2(x)-\cos^2(x)} = |\sin(x)|$$

Also:

$$\sin(x) = |\sin(x)|$$

 

Und damit 2πk≤x≤2πk+π   mit k∈ℤ

 

Grüße