Differentialgleichung 2 Ordnung g(x) Hilfe

Question

nachdem mir gestern bei einer Fehlersuche schon schnell geholfen werden konnte melde ich mich heute noch einmal zurück, dieses Mal zum Thema DGL.

Ich soll eine Lösung der inhomogenen DGL y"+ y' =3*cos(x)−2*sin(4x) finden. Den homogenen Teil habe ich mit y_h(x)=c1*sin(x)+c2*cos(x) bestimmt. Bei der partikulären Lösung y_p(x) bräuchte ich allerdings Hilfe bzw. einen Ansatz, da ich bis dato noch keine DGL mit Sinus und Kosinus hatte und daher nicht weiß, was für einen Ansatz ich bei g(x)=3*cos(x)−2*sin(4x) für y_p wählen muss.

Wahrscheinlich ist es ziemlich simpel aber ich sitz hier eindeutig zu lange schon daran, als dass es mir einfallen wird ^^

LG

Answer 1

Meine Berechnung:

Anbei eine Tabelle mit  Ansätzen:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Du mußt natürlich schauen , ob Resonanz vorliegt, in diesem Fall aber nicht.

yp₁= A cos(x) +B sin(x) (für 3 cos(x) )

yp₂= C cos(4x) +D sin(4x) (für 2 sin(4x))

y_p=yp₁ +yp₂

Comments

Was passiert wenn in der inhomogenen Lösung ein Resonanzfall auftaucht? Wie geht man da am besten vor? Und woran erkenne ich den Resonanzfall im Störterm??

Ich habe mir die Tabelle angeschaut, finde aber nichts was mir Klarheit schafft.

Danke Grosserloewe für die schnellen Antworten!

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Würde die DGL so lauten:

y'' +y'= e^{-x}

->

y_h= C₁ e^{-x}+C₂

_{Die Störfunktion e^{-x} ist Bestandteil der Lösung der charakt. Gleichung}

_{-----> also Resonanz}