Eisenschmelze (Wachstums- und Zerfallprozesse)

Question

Eisen schmilzt bei 1538 °C. Eine glühende Eisenschmelze kühlt sich bei einer Umgebungstemperatur von 20°C innerhalb von 10 Minuten von 2000°C auf 1800°C ab.

A)Wie lautet die Abkühlungsfunktion?

B)Wie lange dauert es bis zur Erstarung des Eisens?

C)Wie groß ist die Abkühlungsrate zu Beginn des Prozesses?

Answer 1

Ansatz  f(x) = 2000*e ^{a*x}   x ist die Zeit in Min ., f(x) die Temp.

f(10) = 1800

1800 = 2000*e ^{a*10}  

0,9 =e ^{a*10}  

ln(0,9)= = 10a

-0,105=10a 

-0,0105 = a 

f(x) = 2000*e ^{-0,0105*x}  

B)  1538 = 2000*e ^{-0,0105*x}  

      0,769 = e ^{-0,0105*x}  

ln(0,769) =-0,0105*x

25 = x   also dauert es 25 Min.

C) f ' (0) =  ?

f ' (x) = 2000*(-0,0105)e ^{-0,0105*x}  

 ==>  f ' 0) = -21  also Abkühlung um 21° pro Min.

Answer 2

T(x) = T(0)*a^t

1800 = 2000*a^10

a = (1800/2000)^{1/10}

B)

1538= 2000*a^t

t= ln(1538/2000)/ln a

C)

T'(0) = 2000*a^0*lna = -21,07 Grad