Äquivalenzrelation Wie zeige ich,dass die Relation symmetrisch ist? Beispiel

Question

Ich habe mal wieder ein Problem. Und zwar verstehe ich einfach nicht, wie man zeigen kann, dass eine Relation symmetrisch ist. Generell verstehe ich es, aber an den Beispielen aus den Vorlesungen wird nicht klar, wie man vorgehen kann. 

Die Aufgabe an der ich mich versuche lautet wie folgt:

Zeigen Sie, dass die auf N definierte Relation R={(a,b) ∈ N x N |  5|2a+3b} eine Äquivalenzrelation ist. 

Reflexion ist logisch und transitiv bekomme ich auch hin, symmetrisch ist das Problem :) 

DANKE für jede kleine Hilfe

Comments

Betrachte vielleicht (2a + 3b) + (2b + 3a).

Answer 1

Eine Relation R auf einer Menge A heißt symmetrisch, falls: $$\forall x,y \in A : \ xRy \Rightarrow yRx$$ 

Wir haben die relation $$R=\{(a,b)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}: 5\mid 2a+3b\}$$ 

Wenn aRb dann folgt es dass  5 | 2a+3b, also 2a+3b ist durch 5 teilbar.  Es gilt das 5a + 5b auch durch 5 teilbar ist. Somit ist deren Differenz auch durch 5 teilbar: $$5\mid \left(5a + 5b\right)-\left(2a+3b\right) \Rightarrow 5\mid 3a+2b \Rightarrow 5\mid 2b+3a$$ Somit folgt es dass bRa.