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jhgjhjgfdj.JPG

Ich brauche die normale Variante ohne trigonometrische funktionen...

Die Frage ist, ob meine Eigenvektoren stimmen bzw. die Lösung ganz am Ende?

Ich habe folgende Eigenwerte: \(\lambda_{1,2} = 5 \pm  4i\)

Eigenvektoren, durch jeweils Eigenwerte einsetzen und senkrechten Vektor zum Zeilenvektor 1 finden: 

\(t\cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 3+4i \end{pmatrix} \) und 

\(t\cdot \begin{pmatrix} -5 \\ -3+4i \end{pmatrix} \)

Ansatz lautet wie folgt: 

\(x(t)=C_{1}e^{(5+4i)t}\cdot\begin{pmatrix} 5 \\ 3+4i \end{pmatrix}+C_{2}e^{(5-4i)t}\cdot\begin{pmatrix} -5 \\ -3+4i \end{pmatrix} \)

Und hier ist die ganze Lösung...

frfadfda.JPG

mfg

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die Eigenwerte stimmen.

Bei den Eigenvektoren habe ich erhalten:

v1= (3/5 +4/5 *i ,1) oder (3+4i, 5)

v1= (3/5 -4/5 *i ,1) oder  (3-4i ,5)

Lösung:

x1 = 5/2 e^{5 x} (sin(4 x) + 2 cos(4 x))

x2 = -5/2 e^{5 x} (sin(4 x) - 2 cos(4 x))

Avatar von 121 k 🚀

Hi,

ist meine Annahme richtig, dass man bei komplexen Eigenwerten mit trigonometrischen Funktionen Arbeiten MUSS? also dieser Ansatz?

\(\begin{aligned}\vec{x}(t) = e^{Re\cdot t} \begin{pmatrix}a\cos(Im\cdot t)+b\sin(Im\cdot t)\\ c\cos(Im\cdot t)+d\sin(Im\cdot t)\end{pmatrix}\end{aligned}\)

Also man nimmt z.B. einen der Eigenwerte. z.B. hier 5 + 4i... Re, also 5 kommt oben für Re und 4 kommt oben für Im?

Für Eigenvektoren habe ich z.B. 5 + 4i genommen... in A-(E·(-λ)) eingesetzt also:

$$\begin{pmatrix} -3-4i & 5 \\ -5 & 3-4i \end{pmatrix} $$

Die erste Zeile nehmen als Spaltvektor:

\(\begin{pmatrix} -3-4i \\ 5\end{pmatrix}\) Zeilen vertauschen \(\begin{pmatrix} 5 \\ -3-4i \end{pmatrix}\) und eine Zeile ·(-1) 

\(\begin{pmatrix} -5 \\ -3-4i\end{pmatrix}\). So habe ich den Eigenvektor raus.

Hast du das mit LGS raus? deine Eigenvektoren sehen ganz anders aus. deine Lösung stimmt aber.

mfg

mir geht es nicht um die LÖsung, ich habe die LÖsung schon und heir ist der Link:

https://www.mathelounge.de/517985/bestimmen-sie-die-reelle-losung-des-dglsystems-mit-x-ax

mir geht es um Verständnis und deswegen diese Frage, damit ich die Vorgehensweise verstehe:

Also... ich komme irgendwie nicht auf deine Eigenvektoren:

Die Vektoren dieser Matrix sind orthogonal zueinander, also Spalte 1 zu Spalte 2... vielleicht funktioniert mein Trick mit Zeilenvertauschen und eine davon ·(-1) deswegen nicht. 

Mit LGS habe ich folgendes:

jhkjhkjhfk.JPG

Das ist immer noch ganz ganz was anderes als bei dir... 

Und diese Frage ist wichtig:

ist meine Annahme richtig, dass man bei komplexen Eigenwerten mit trigonometrischen Funktionen arbeiten MUSS?

mfg

Hey du hast einfach jeweils die erste Zeile als Eigenvektor genommen? wieso kann man das machen?

und hab hier mal was gefunden, ich glaub wenn die obere Frage beantwortet ist sollte alles geklärt sein. 

Bei kompl. Eigenwerten muss ich diesen Weg benutzen, glaub ich. 

mfg

 

Meine Berechnung der Eigenvektoren:

x2 nimmt man so, das der Bruch verschwindet .

E1.gif

ok danke hatte nen Rechenfehler beim lösen des LGS.

umgeschrieben erhalten wir:

\(v_{1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} - i\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\)

\(v_{1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} + i\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Ich habe den folgenden Ansatz.

$$x(t) = e^{Re\cdot t} (C_{1}\cdot cos(Im\cdot t)\cdot u + C_{2} \cdot sin(Im\cdot t)\cdot w)$$

wo setze ich was ein, um das folgende zu erhalten? Muss ich jeweils beide Eigenvektoren und dessen Eigenwerte in den obigen Ansatz einsetzen, um die beiden Gleichungen zu erhalten?

\(\begin{aligned}\vec{x}(t) = e^{5t} \begin{pmatrix}a\cos(4t)+b\sin(4t)\\ c\cos(4t)+d\sin(4t)\end{pmatrix}\end{aligned}\)

also z.B. für λ und v1 :

$$x(t) = e^{5\cdot t} (C_{1}\cdot cos(4\cdot t)\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}  + C_{2} \cdot sin(4\cdot t)\cdot (-i\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix})$$

0 Ahnung wie das umgeformt zu 

\(\begin{aligned}\vec{x}(t) = e^{5t} \begin{pmatrix}a\cos(4t)+b\sin(4t)\end{pmatrix}\end{aligned}\) wird.

mfg

oder ist mein Ansatz total falsch? muss ich ganz normal mit dem folgenden Ansatz arbeiten, dann umformen?

y(t) = C1*e^{λ1 ·t} +C2 ·e^{λ2 ·t}.. und nun muss ich e^... mit der euleridentität umwandeln in cos (phi)+i*sin(phi)... ?

mfg

Berechnet kann das so werden:

E2.gif

ok ich habe für x1 folgendes:

$$\begin{aligned}\vec{x}_{1}(t) = (3-4i)e^{5t} \begin{pmatrix}a\cos(4t)+b\sin(4t)\end{pmatrix}\end{aligned}$$$$\begin{aligned}\vec{x}_{2}(t) = 5\cdot e^{5t} \begin{pmatrix}c\cos(4t)+d\sin(4t)\end{pmatrix}\end{aligned}$$

A.W.B eingesetzt z.B in x2 liefert c = 1... das stimmt aber nicht 

C war 5...

https://www.mathelounge.de/517985/bestimmen-sie-die-reelle-losung-des-dglsystems-mit-x-ax

wenn ich diese Form erreicht habe ist der Rest klar, hast du mir ja schon erklärt... 

$$\begin{aligned}\vec{x}(t) = e^{5t} \begin{pmatrix}a\cos(4t)+b\sin(4t)\\ c\cos(4t)+d\sin(4t)\end{pmatrix}\end{aligned}$$

Mit A.W.B erhält man schon sofort a = 5 und c=5... aber mit dem was ich oben ausgerechnet habe komme ich nicht hierauf... 

mfg

ich möchte mal interessenhalber wissen:

was genau machst Du ? (Student ja /nein, welche Richtung)

was schon gehabt? Autodidakt ??

bin Student. Elektrotechnik. Autodidakt haha... nicht in Mathe...

diese Lösung ist genau so, wie wir es auch hatten. Die Lösung ist vom Tutor, aber ich habe eben kein Lösungsweg. :/

Hatte so ziemlich viel, Matrizen Grundlagen, Komplexe Zahlen, Mengenlehre, Reihen usw... 

mfg,

Ok danke

das Ganze ist sehr schreibintensiv, ich rechne für Dich weiter

:-)

danke :D... tut mir leid, wenn oft kleine Fehler habe. Ich mache währenddessen andere Aufgaben, wenn ich hier auf die Antwort warte und es kann passieren, dass ich manchmal nicht darüber genau nachdenke, oder bei der Rechnung mich nicht genug konzentriere... 

$$\begin{aligned}\vec{x}_{2}(t) = 5\cdot e^{5t} \begin{pmatrix}c\cos(4t)+d\sin(4t)\end{pmatrix}\end{aligned}$$

A.W.B eingesetzt z.B in x2 liefert c = 1... das stimmt aber nicht
C war 5...
 

Also das sieht zwar anders aus und C ist 1, aber mit der 5 vor dem e gleicht sich das ja aus... ist das mit d auch der Fall?

Aber x1 (t) sieht ganz anders aus als in der Lsg und ich komme da auf keine gescheite Form:$$\begin{aligned}\vec{x}_{1}(t) = (3-4i)e^{5t} \begin{pmatrix}a\cos(4t)+b\sin(4t)\end{pmatrix}\end{aligned}$$

ich habs mal versucht auszuklammern... sieht nicht richtig aus... A.W.B. liefert 5/3 für b

gfgfsdgsdfg.JPG

Der Koeffizient vor a müsste 1 und vor b müsste 2 sein... 

mfg

@ich rechne für Dich weiter... haha ich habs erst eben kapiert... 

du hast viel gerechnet und vielen, vielen Dank :) ... mach dann eben eine Pause, hat keine Eile erstmal.. aber wäre nett wenn du irgendwann mal hierauf zurückkommst... 

Aber denk nicht ich rechne selber nicht... soll ich die 3 seiten, die ich über diese Aufgabe habe hochladen? oder lieber PN, wenn das auf diesem Forum möglich ist?  

mfg :)

du bist zwar sauer, dass ich zu viele Frage gestellt habe, aber du hast nicht einmal erwähnt, dass man bei komplex konjugierten Eigenwert nur mit einem Eigenwert und Eigenvektor arbeiten kann. Das macht alles viel einfacher.

Wenn irgendjemand mal hier landet, habe ich unten die Lösung. Ein Admin könnte eventuell hier etwas aufräumen. :)

Wir nehmen den ersten Eigenwert und den Eigenvektor dazu:

$$\lambda_1 = 5 + 4 i, v_1 = \begin{pmatrix} 3 -4i\\ 5 \end{pmatrix}$$

Setzen es in die allg. Formel ein und wenden die Euleridentität an:

$$\begin{aligned} e^{(5 + 4i)t} \begin{pmatrix} 3 -4i\\ 5 \end{pmatrix} \\ = e^{5t}e^{4it} \begin{pmatrix} 3 -4i\\ 5 \end{pmatrix}\end{aligned} \\= e^{5t}(\cos 4t + i \sin 4t)\begin{pmatrix} 3 -4i\\ 5 \end{pmatrix}$$

Ausmultiplizieren:

$$e^{5t}\begin{pmatrix} 3 \cos 4t + 4 \sin 4t +i(3 \sin 4t - 4 \cos 4t)\\ 5 \cos 4 t + i( 5  \sin 4t)\end{pmatrix}$$

Trennen nun die reellen und imaginär Anteile.  Hier C_1 und C_2 davor. C_2 enthält i, deswegen fällt i weg. 

Man kann wie oben auf den Bildern, c1 und c2 bestimmen, aber es reicht einfach auswendig zulernen, dass hier die beiden konstanten hinzu kommen.

$$\vec{x}(t) = e^{5t}\left(c_1\begin{pmatrix} 3 \cos 4t + 4 \sin 4t  \\ 5 \cos 4 t \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 3 \sin 4t - 4 \cos 4t\\  5  \sin 4t \end{pmatrix} \right)$$

A.W.B einsetzen:

$$c_1\begin{pmatrix} 3  \\ 5  \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} - 4 \\  0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5  \\ 5  \end{pmatrix}$$

C_1 und C_2 bestimmen und oben einsetzen und zusammenfassen:

$$\begin{aligned}\vec{x}(t) = e^{5t} \begin{pmatrix}5\cos 4t+\dfrac{5}{2}\sin 4t\\ 5\cos 4 t-\dfrac{5}{2}\sin 4t\end{pmatrix}\end{aligned}$$

mfg

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