Aufgaben zur Rekonstruktion

Question

Wir schreiben sehr bald eine Klausur und ich wollte mich dafür vorbereiten, doch bei 2 Aufgaben habe ich Probleme. 

1) Gesucht ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion drittes Grades, deren Graph auf der Y Achse einen Sattelpunkt hat , die x Achse bei 2 schneidet und durch den Punkt P ( -1 | 3 ) geht.

2) Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades hat in S ( 0 | -2,75 ) einen Sattelpunkt und in H ( -3 | 4 ) einen Hochpunkt . Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion

Lösung zu 1 : -1/3 x^3 + 8/3

Lösung zu 2 : -1/4 x^4 - x^3 - 2,75

Ich würde mich sehr freuen wen mir jemand helfen könnte.

Answer 1

1) Gesucht ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion drittes Grades, deren Graph auf der Y Achse einen Sattelpunkt hat , die x Achse bei 2 schneidet und durch den Punkt P ( -1 | 3 ) geht.

Ansatz f(x) = ax^3 +bx^2 + cx +d 

also f ' (x) = 3ax^2 + 2bx + c    etc.

Sattelp auf y-Achse    f ' ' (0) = 0     und f ' ( 0) = 0 

die x Achse bei 2 schneidet     f(2) = 0 

durch den Punkt P ( -1 | 3 ) geht.  f(-1) = 3 .

Das gibt 4 Gleichungen für abcd.

entsprechend:

2) Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades hat in S ( 0 | -2,75 ) einen Sattelpunkt

und in H ( -3 | 4 ) einen Hochpunkt . Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion

Ansatz f(x) = ax^4 +bx^3 + cx^2 + dx + e 

S ( 0 | -2,75 ) einen Sattelpunkt    f(0)=-2,75  und f '(0)=0 und f ' ' (0) = 0

in H ( -3 | 4 ) einen Hochpunkt .  f(-3)=4  und f ' (-3) = 0 

gibt die 5 Gleichungen für abcde.

                                

                          

Answer 2

> Gesucht ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion drittes Grades

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

> deren Graph auf der Y Achse einen Sattelpunkt hat

Auf der y-Achse ist x = 0, also

(1)        f'(0) = 0.

(2)        f''(0) = 0.

> die x Achse bei 2 schneidet

(3)        f(2) = 0.

> durch den Punkt P ( -1 | 3 ) geht

(4)        f(-1)  = 3.

Löse das GLeichungssystem.

Answer 3

Hallo Anna Maria,

1)

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

f '(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + c

f "(x) = 6·a·x + 2·b

Der Sattelpunkt  ( = Wendepunkt mit waagrechter Tangente) ergibt:

f '(0) = 0    →  c = 0  

f "(0) = 0  →  b  = 0

f(x) = a·x^3  + d

f(2) = 0   ⇔   8·a + d  = 0   #

f(-1) = 3  ⇔   d - a  = 3   ⇔    d = 3 + a

d in # einsetzen   →  a = - 1/3   →    d = 8/3

f(x) = -1/3 x^3 + 8/3

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo ! Vielen Dank für ihre Antwort !! Sehr ausführlich gemacht, können Sie mir auch bei der 2 helfen ?

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f(0) = -2,75  →  e = - 2,75

f '(0) =0  → d = 0

f "(0) = 0   →  c = 0

f(x) = ax⁴ + bx^3 - 2,75   ,  f '(x)  = 4ax^3 + 3bx^2

f '(-3)  =  27·b - 108·a  = 0    →    b = 4a              

f(-3)  =   81·a - 27·b - 11/4  = 4

b einsetzen  →   81a - 108a  = 27/4  →  -27a = 27/  4

                   →    a = -1/4   und  b =  -1