Die wollte ich unbedingt noch beantworten; ich führe dir meinen Divisionstrick Marke Eigenbau vor. Eigenwert E1 = ( - 2 )
x + 2 y + z = - 2 x ( 1a )
3 x + 2 y + z = 0 | : z ( 2a )
2 x + 2 z = - 2 y ( 1b )
x + y + z = 0 | : z ( 2b )
x + 2 y + z = - 2 z ( 1c )
x + 2 y + 3 z = 0 : z ( 2c )
Die Nummerierung ( a-c ) behalte ich konsistent bei, damit du weißt, welche Gleichungen zusammen gehören. Dieses Divisionsverfahren verringert die Zahl der Unbekannten auf zwei; und zwei Unbekannte gelten als beherrschbar. Da das LGS homogen ist, bleibt seine Linearität trotz Division erhalten; wir führen neue Unbekannte ein
X := x / z ; Y := y / z ( 3 )
In den neuen Unbekannten lauten ( 2a-c ) nunmehr
3 X + 2 Y = ( - 1 ) ( 4a )
X + Y = ( - 1 ) ( 4b )
X + 2 Y = ( - 3 ) ( 4c )
Folgender Verbrechertrick; Einsetzverfahren. Setze Original ( 4b ) ein in ( 4c ) ; also links und rechts. Dann bleibt doch effektiv stehen Y = ( - 2 )
( 4a;b:c ) ===> X = 1 . Man könnte noch einwenden, Division durch z sei nur statthaft, wenn es keine nicht trivialen Lösungen für z = 0 gibt. Doch der Erfolg gibt uns Recht - wir haben keine Entartung.
Somit finden wir für E1 den Eigenvektor
e1 = ( 1 | - 2 | 1 ) ( 5 )
Für E2 = 0 sind überhaupt nur zwei Gleichungen angesagt.
x + 2 y + z = 0 | : z ( 6a )
x + z = 0 | : z ( 6b )
X + 2 Y = ( - 1 ) ( 7a )
X = ( - 1 ) ===> Y = 0 ( 7b )
v = ( - 1 | 0 | 1 ) ( 8 )
Bliebe noch E3 = 4
x + 2 y + z = 4 x ( 9a )
3 x - 2 y - z = 0 ( 10a )
2 x + 2 z = 4 y ( 9b )
x - 2 y + z = 0 ( 10b )
x + 2 y + z = 4 z ( 9c )
x + 2 y - 3 z = 0 ( 10c )
Diesmal finden wir X = Y = 1 mit dem Eigenvektor in die -raumdiagonale
v3 = ( 1 | 1 | 1 ) ( 11 )
Du kannst ja mal vergleichen, dass ( 5;8;11 ) alle aufeinander senkrecht stehen.
