Eigenraum finden von Matrix

Question

Matrix: 
  A=   1 2 1
          2 0 2
          1 2 1

 Eigenwerte: λ1 = 4 ;  λ2 = -2  ;  λ3 = 0   

Bei den Eigenvektoren komme ich nicht mehr weiter.

-3	2	1
2	-4	2
1	2	-3

I + 3*III & II-2*III

0	-8	8
0	-8	8
1	2	-3

I+II 

0	8	-8
0	0	0
1	2	-3

Bin ich hier schon fertig mit dem ersten Vektor mit  λ1 = 4  (komme nicht mehr weiter hier)? Ich habe es versucht nach einer Dreiecksmatrix umzuformen, doch ich bin mir nicht sicher ob es schon so reicht. Normal sieht eine Dreiecksmatrix so aus: 

0	x	x
0	0	x
0	0	0

Answer 1

  Die wollte ich unbedingt noch beantworten; ich führe dir meinen Divisionstrick Marke Eigenbau vor. Eigenwert E1 = ( - 2 )

       x  +  2  y  +        z  =  -  2  x       (  1a  )

 3  x    +  2  y  +         z  =  0   |  :  z          (  2a  )

2   x                +  2     z  =  -  2  y      (  1b  )

     x     +     y   +        z  =   0    |  :  z       (  2b  )

     x     +  2  y  +        z  =  -  2  z        (  1c  )

     x     +  2  y   +  3  z   =  0     :  z        (  2c  )

    Die Nummerierung  ( a-c ) behalte ich konsistent bei, damit du weißt, welche Gleichungen zusammen gehören.  Dieses Divisionsverfahren verringert die Zahl der Unbekannten auf zwei; und zwei Unbekannte gelten als beherrschbar. Da das LGS homogen ist, bleibt seine Linearität trotz Division erhalten; wir führen neue Unbekannte ein

       X  :=  x / z  ;  Y  :=  y  /  z         (  3  )

     In den neuen Unbekannten lauten ( 2a-c ) nunmehr

      3  X  +  2  Y  =  (  -  1  )         (  4a  )

          X  +       Y  =  (  -  1  )        (  4b  )

          X  +   2   Y  =  (  -  3  )      (  4c  )

       Folgender Verbrechertrick; Einsetzverfahren.  Setze Original ( 4b ) ein in ( 4c ) ; also links und rechts.  Dann bleibt doch effektiv stehen Y = ( - 2 )

       ( 4a;b:c )   ===>   X  =  1    . Man könnte noch einwenden, Division durch z sei nur statthaft, wenn es keine nicht trivialen Lösungen für z = 0 gibt. Doch der Erfolg gibt uns Recht - wir haben keine Entartung.

     Somit finden wir für E1 den Eigenvektor

     e1  =  (  1  |  -  2  |  1  )              (  5  )

   Für  E2 = 0 sind überhaupt nur zwei Gleichungen angesagt.

        x  +  2  y  +  z  =  0     |    :  z     (  6a  )

        x              +  z  =   0    |   :  z      (  6b  )

        X  +  2  Y         =   (  -  1  )           (  7a  )

        X                       =  (  -  1  )  ===>  Y  =  0      (  7b  )

        v  =  (  -  1  |  0  |  1  )          (  8  )

   Bliebe noch E3 = 4

       x  +  2  y  +  z  =  4  x        (  9a  )

   3  x  -  2  y   -       z  =  0      (  10a  )

   2  x              +  2  z   =  4  y       (  9b  )

       x    -  2  y  +     z   =  0     (  10b  )

       x  +  2  y  +      z  =  4  z        (  9c  )

       x  +  2  y   -  3  z  =  0         (  10c  )

      Diesmal finden wir X = Y = 1 mit dem Eigenvektor in die -raumdiagonale

      v3  =  (  1  |  1  |  1  )       (  11  )

   Du kannst ja mal vergleichen, dass ( 5;8;11 ) alle aufeinander senkrecht stehen.

Answer 2

Hallo

 aus der mittleren Zeile x_3 beliebig=r. daraus x_2 aus der oberen Zeile, danach dann x_1 aus der ersten.

Gruß lul

Comments

danke für die Antwort doch leider komme ich nicht weiter