Punkt auf der Verbindungslinie zwischen P und Q, welcher 3/4 der Distanz vom Punkt P entfernt ist berechnen

Question

7. Es seien die Punkte P(2, 3,−2) und Q(7,−4, 1) gegeben.

(b) Berechnen Sie denjenigen Punkt auf der Verbindungslinie zwischen P
und Q, welcher 3/4 der Distanz vom Punkt P entfernt ist.

wie kann man das berechnen?

Answer 1

Hi,

bestimme den Vektor zwischen P und Q.

PQ = (7;-4;1) - (2;3;-2) = (5;-7;3)

 

Sorge dafür, dass dieser Vektor die Länge 1 hat. Länge errechnet sich über den Betrag.

√(5^2+(-7)^2+3^2) = √83

Der Vektor 1/√83(5;-7;3) hat also die Länge 1.

 

Punkt berechnen, welcher 4 Einheiten von P entfernt ist und zwischen P und Q liegt:

(2;3;-2) + 4/√83 (5;-7;3) = (2+20/√83; 3-28/√83; -2+12/√83)

 

Der gesuchte Punkt ist also R(2+20/√83| 3-28/√83| -2+12/√83) = R(4,19|-0,07|-0,68)

 

Grüße

Comments

merci und wenn er 3/4 entfernt ist muss ich mit * 3/4 mutiplizieren?

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So ist es :).

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Müsste dann nicht die Distanz zwischen den Punkten  P  und  R  gleich  3/4·√83  sein?

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7. Es seien die Punkte P(2, 3,−2) und Q(7,−4, 1) gegeben.

(b) Berechnen Sie denjenigen Punkt auf der Verbindungslinie zwischen P
und Q, welcher 3/4 der Distanz vom Punkt P entfernt ist.

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Wir haben doch den Vektor bestimmt:

Der Vektor 1/√83(5;-7;3) hat also die Länge 1.


Ich hatte verstanden, die Entfernung soll 4 sein und habe mit 4 multipliziert. Du willst aber 3/4 haben, so multipliziere den Vektor mit 3/4 und addiere ihn zu P ;).

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Oder soll die Distanz zwischen  P  und  R  gleich  3/4  der Distanz zwischen  P  und  Q  sein?

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Das ist wahr, das ist eine Interpretation die näher liegt.

Dann brauchst Du den Vektor nicht zu normieren, sondern kannst direkt 3/4*(5;-7;3) rechnen und zu P addieren ;).

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also die lösung ist (23/4, -9/4, 1/4 ) ich weiss nicht wie man darauf  kommt

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(2;3;-2) + 3/4(5;-7;3) = (2+15/4; 3-21/4; -2+9/4) = (23/4; -9/4; 1/4)


Der Punkt R (23/4| -9/4| 1/4)


Klar? :)

Answer 2

Sei R der gesuchte Punkt.
Dieser soll die Strecke PQ, also den Richtungsvektor von P nach Q, im Verhältnis 3 / 4 teilen.
Es muss also 3 / 4 des Richtungsvektors von P nach Q zu P addiert werden.
Der Richtungsvektor von P nach Q ist Q - P

Für den Vektor R muss also gelten:
R = P + ( 3 / 4 ) * ( Q - P )

Nun einfach einsetzen und ausrechnen:

R = ( 2 , 3 , - 2 ) + ( 3 / 4 ) * [ ( 7, - 4 , 1 ) - ( 2 , 3 , - 2 ) ]

= ( 2 , 3 , - 2 ) + ( 3 / 4 ) * ( 5, - 7 , 3 )

= ( 2 , 3 , - 2 ) + ( 15/4 , - 21/4 , 9/4 )

= ( 23/4, - 9/4 , 1/4 )