Für welche beiden Zahlen, von denen die eine um zwei größer ist als die andere, ist das Produkt am kleinsten?

Question

ich glaube kaum, dass ich die folgende Aufgabe richtig gerechnet habe, aber vielleicht stimmen ja Teile davon:

Für welche beiden Zahlen, von denen die eine um 2 größer ist als die andere, ist das Produkt am kleinsten?

  x * (x+2)

 f(x)  = x² + 2x =

x (x+2)

x1 = 0

x2 = -2

Und selbst wenn das Ergebnis richtig sein SOLLTE: Was sagt es mir eigentlich?

Vielen Dank

Answer 1

  Gebildete Menschen machen das mit Lagrange. Die Hauptbedingung an das Podukt P

      P  (  x  ;  y  )  :=  x  y  =  min       (  1a  )

       die Nebenbedingung an die -differenz D

      D  (  x  ;  y  )  :=  y  -  x  =  const  =  2       (  1b  )

   Der Lagrangeparfameter von ( 1b ) sei k ; wir bilden die Funktion

      H  (  x  ;  y  )  :=  P  (  x  ;  y  )  +  k  D  (  x  ;  y  )         (  2  )

    Notwendige Bedingung für Minimum: Der Gradient von H verschwindet.

      H_x  =  y  -  k  =  0         (  3a  )

       H_y  =  x  +  k  =  0       (  3b  )

    Additionsverfahren ( 3a ) + ( 3b ) , um den Dummy k zu eliminieren

      x  +  y  =  0       (  4  )

    Die Lösung des LGS ( 1b;4 )

                y  =  1  ;  x  =  (  -  1  )         (  5  )

Answer 2

> Und selbst wenn das Ergebnis richtig sein SOLLTE:

Du hast die Nullstellen bestimmt. Du hättest stattdessen den Scheitelpunkt bestimmen sollen.

> Was sagt es mir eigentlich?

Du hast am Anfang den Term x * (x+2) aufgestellt.

Die Variable x kommt nicht in der Aufgabenstellung vor.

Das heißt du hast die Variable x selbst erfunden.

Wenn du eine Variable erfindest, dann solltest du eigentlich auch dazuscheiben, wofür die Variable im Sachzusammenhang steht:

        x ist eine der gesuchten Zahlen.

Wenn du das so aufschreibst, dann sollte es eigentlich kein Problem mehr sein, herauszufinden, was

        x = 0

und

        x = -2

bedeuten.

Answer 3

x * (x+2)
f ( x )  = x ^2 + 2x
f ´( x ) = 2 * x + 2

Extremwert
2 * x + 2 = 0
x = -1

Jetzt müßte man noch nachschauen ob das
Ergebnis min oder max ist.
x * (x+2)
x^2 + 2x ist eine nach oben geöffnete Parabel.
x = -1 ist die min-Stelle

Alternativ : du hast die Nullstellen einer Parabel
bei x = 0 und x = -2 bereits ausgerechnet.
Der Scheitel ( Extremum ) ist auf Grund der Symmetrie
einer Parabel in der Mitte zwischen den beiden
Nullstzellen.

Comments

Warum scheiden 0 und 2 bzw. -2 und 0 als Lösung aus?

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x * ( x + 2 )
x = 0 : 0 * ( 0 + 2 ) = 0
x = -2 : -2 * ( -2 + 2 ) = 0

x = -1 : -1  * ( -1 + 2 ) = -1

Die Antwort x = -1 ergibt das kleinste Produkt.

Tip des Tages :
Augen auf im Straßenverkehr.

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Klasse, Georg, vielen Dank, sehr einleuchtend. Ich habe die Aufgabe genauso in mein schlaues Heft übernommen.