Vollständige Induktion (x-1)*(1+x+x^2+x^3+...+x^{n-1})=x^n-1

Question

Ich bräuchte Hilfe beim Induktionsschritt bei der folgenden Aufgabe:

Behauptung: (x-1)*(1+x+x²+x³+...+x^n-1)=xⁿ-1

in der Überschrift editiert  (-Wolfgang-)

Answer 1

Hallo Alberto,

Induktionsschritt von \(n\) nach \(n+1\): $$(x-1)\cdot (1+x+x^2 + ... + x^{n-1} + x^n) $$ $$ \begin{aligned} \space &=(x-1)\cdot (1+x+x^2 + ... + x^{n-1}) + (x-1) \cdot x^n \\& = (x^n - 1) +  x^{n+1} - x^n \\&= x^{n+1} - 1\end{aligned}$$ q.e.d.

Answer 2

Warum muss den ein Beweis durch vollständige Induktiongeführt werden. Das kann man doch einfach ausmultiplizieren:

(x-1)*(1+x+x²+x³+...+x^n-1)=   

(x+x²+x³+...+x^n-1+xⁿ)-(1+x+x²+x³+...+x^n-1)=xⁿ-1 .