Partikuläre Lösung mit Ansatzmethode bestimmen. y´´-3y´= 8e^{3x} + 4 sinx

Question

ich habe yhomogen bestimmt.

yh= C1+ C2 e^{3x}

Wie bestimme ich yp?

 

Answer 1

mithilfe des Ansatzes

y_p=A*x*e^{3x}+Bsin(x)+Ccos(x)

Der Faktor x vor e^{3x} kommt aufgrund der Resonanz der homogenen Lösung.

Comments

wo kann man das naschauen? Bzw. woher hast du die Info?

Ist es das

https://www.opt.math.tugraz.at/~raindl/archiv/diffgl/bspTab.pdf

2. Zeile?

Aber da ist yp= A e^{3x}

ohne +Bsin(x)+Ccos(x)

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https://www.opt.math.tugraz.at/~raindl/archiv/diffgl/bspTab.pdf

ist es dann 2. Zeile für:  8e3x

und 14. Zeile für: 4 sinx

???

Ich wäre dankbar für eine Antwort.

Und weil 8e3x + 4sinx

müssen beide Ansätze addiert werden?

Und bei multiplikation  (8e3x * 4sinx ) müsste es

A*x*e3x * (Bsin(x)+Ccos(x))

sein?

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Das entspricht

Zeile 3 +Zeile 14 im Skript.

Und genau die werden addiert, weil die Inhomogenität auch eine Summe ist.

Bei Produkten ist es komplizierter, hab ich jetzt nicht im Kopf ;).

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Wie kann ich wissen dass es Zeile 3 ist?

Ich hätte ja gedacht es wäre 2, weil dort eben auch 8e^{3x} vorkommt.

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Ich hätte ja gedacht es wäre 2, weil dort eben auch 8e^{3x} vorkommt.

Das in der Tabelle sind ja nur Beispiele, und dort hätte in Zeile zwei auch e^{10x} rauskommen können ,was das Wesen der DGL aber nicht ändert. Das der Exponent übereinstimmt mit deiner Aufgabe ist Zufall.

Wichtiger ist hier zu erkennen:

Die Faktoren im Exponenten der homogenen Lösungen e^{3x} tritt auch auf der rechten Seite als Inhomogenität auf! Dies bezeichnet man als Resonanz. Daher schaut man in der Tabelle in Zeile 3, wo das umrandete R steht.

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Gibt es eine Tabelle für alle störfunktionen?

Oder muss man sich die Ansätze irgendwie zusammenbasteln? 

Answer 2

  Mein Assistent lispelte stark; zu meinem Referat hielt er folgenden Prolog für Geboten:

   " Differenziern kann jeder. Intekriern is Klückßache. Unn bei dene DGL , gell; da duutmer doch als de Nachbar frage; hier geb mer maa en Ansatz, damit isch weiß, was raus kommt.

  Weil bei dene DGL , gell.  Da duun mir Ihne so Existenzsätze beibringe; also die Lösungen, dass die existiern. Weil diese Existenzsätze duun mir Sie nachher in die Prüfung abfrage.

   Aber wiemer die Lösunge findet, das sage mir Ihnen nischt. Weil das gibt es nischt ... "

    An sich ist die homogene DGL ja trennbar.

     ( dy ' dx )  =  3  y  '      (  1a  )

    dy ' / y '  =  3  dx     |   $      (  1b  )

    ln  (  y  '  )  =  3  x  +  c    (  1c  )

    y  '  (  hom  )  =  K  exp  (  3  x  )     (  1d  )

   Jetzt würde man doch Variation der Konstanten anwenden.

           y  "  =  (  K  '  +  3  K  )  exp  (  3  x  )      (  2a  )

      y  "  -  3  y  '  =  K  '  exp  (  3  x  )  =  8  exp  (  3  x  )  +  4  sin  (  x  )    (  2b  )  |  *  exp  (  -  3  x  )  

       ( dK/dx )   =  8  +  4  sin  (  x  )  exp  (  -  3  x  )     (  2c  )

   Dieses Integral wird jetzt schon etwas unhandlich; an sich würdest du K = K ( x ) einsetzen in ( 1d ) ;und bei dieser elementaren Integration kommt dann noch ein + C1