Matheaufgabe 2D Helmert Transformation

Question

Brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gegeben ist das Dreieck D mit den Punkten A = (0;0), B = (-2;0) und C = (0; -2). 

a) Führen Sie für D eine 2D-Helmert.Transformation (Drehstreckung mit Verschiebung) D → D' mit dem Maßstabsfaktor m = 2.5, Drehwinkel α = 30° und Verschiebungsvektor \( \vec{X}^0 = (1; -1)\ ) durch. 

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt von D, den Flächeninhalt des transformierten Dreiecks D', sowie das Verhältnis der beiden Flächeninhalte zueinander. Was fällt Ihnen auf? Begründen!

Vielen Dank

Answer 1

Wo liegt dein Problem ? 

Das Flächenverhältnis sollte 1:2.5² = 1:6.25 sein.

Eine Drehung ändert nichts an der Fläche.

Eine Verschiebung auch nicht.

Einzig allein die Streckung bewirkt das alle Längen mit dem Faktor 2.5 gestreckt werden und das dadurch der Flächeninhalt auf das 6.25-fache anwächst.

Comments

Ich verstehe a) nicht

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Das Flächenverhältnis sollte 1:2.52 = 1:6.25 sein.

Wie meinst du das

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Das der Flächeninhalt nachher 6.25 mal so groß ist.

Was habt ihr zur 2D-Helmert-Trasformation notiert?

Kennst du die Drehmatrix, die etwas um 30 Grad um den Ursprung dreht? Kennst du die Streckmatrix, die etwas um 2.5 vom Streckzentrum (0, 0) aus streckt? Kannst du beides auf das Dreieck anwenden? Weißt du auch wie man dann etwas um einen Vektor verschiebt?

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Ne weiss ich nicht. Nur Formeln aber die sind momentan nicht hilfreich

Wir haben nur Erklärungen mit ein paar Formel notiert aber es hilft mir nicht beim rechnen. Aber deine Erklärungen führen mich auf die Spur der Vorlesung

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Ja. Das wirkt vielleicht zunächst wie ein Formel-Wirr-war. Nimm erstmal die Formeln als gegeben hin. Setze das ein was du weißt. Schau dann an wie das Dreieck Transformiert wird.

Arbeite eventuell Zusätzlich das Kapitel im Lehrbuch durch.

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Ne das hilft mir nicht das sind zu viele Formeln und habe überhaupt keine Idee

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Die Drehmatrix hast du ja gerade in einem anderen Beitrag gehabt. Leite sie dir her. Drehe dann mal die Punkte deines Dreiecks um 30 Grad.

Das lässt sich rechnerisch mit Wolframalpha oder Geogebra machen.

Stelle dann noch eine Matrix auf die etwas streckt. Ich bin sicher das ihr sowas im Unterricht hattet. Notfalls überlege dir worauf der punkt (x, y) bei Streckung mit den Faktor m abgebildet wird.

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Ich habe die Unterlagen nicht mehr zur Verfügung. Könntest du es schriftlich schreiben, da man nicht weiss ob es in der Klausur gefragt werden kann.

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Die Streckmatrix mit dem Faktor m ist M = [m, 0; 0, m]

M * [x; y] = [m, 0; 0, m] * [x; y] = [m·x; m·y]

Die genaue Erläuterung und Hinweise nehmen in meinem Lehrbuch ein paar Seiten in Anspruch. Ich habe weder Zeit noch Lust es dir abzutippen. Wenn du keine Unterlagen hast, dann solltest du dich im Internet schlau machen.

Youtube hilft auch.

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Bitte Mathecoach für die Klausur ist es sau wichtig die Aufgabe

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Habe leider keine Ansätze mehr

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hilft Dir diese Zeichnung weiter?

 

aus $ABC$ wird $AB'C'$ (Drehung um den blauen Winkel) - aus $AB'C'$ wird $AB''C''$ (Skalierung um Faktor 2,5) - und aus $AB''C''$ schließlich $A'''B'''C''$ (Verschiebung um $(1;-1)$).

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Ja hat geholfen aber die Aufgabe ist nicht fertig oder

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Kann mir bitte jemand helfen, wie ich die Aufgabe zu lösen habe.

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Die Helmert-Transformation besteht aus einer Rotation $R$, einer Skalierung mit Faktor $m$ und einer Verschiebung um den Vektor $\vec{X}$ - rein formel heißt, dass aus einem Punkt $p$ wie folgt

$$p'= m \cdot R \cdot p + \vec{X}$$

ein Punkt $p'$ wird. Das $R$ ist eine Rotationsmatrix, die im Allgemeinen und für $\alpha=30°$ so aussieht

$$R = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac12\sqrt{3} & -\frac12 \\ \frac12 & \frac12\sqrt{3} \end{pmatrix}$$ Multipliziert man  $B=(-2; 0)^T$ mit dieser Matrix, so erhält man

$$B' = \begin{pmatrix} \frac12\sqrt{3} & -\frac12 \\ \frac12 & \frac12\sqrt{3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sqrt{3} \\ -1 \end{pmatrix}$$ schau mal in der Zeichnung oben nach, ob das passt. Eine Skalierung um $m=2,5$ ist eine schlichte Multiplikation aller Koordinaten:

$$B'' = 2,5 \cdot \begin{pmatrix} -\sqrt{3} \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac52\sqrt{3} \\ -\frac52 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -4,3 \\ -2,5 \end{pmatrix}$$ und zum Schluß die Verschiebung um $\vec{X} = (1; -1)^T$; ist eine schlichte Addition der einzelnen Koordinaten miteinander

$$B''' = \begin{pmatrix} -\frac52\sqrt{3} \\ -\frac52 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\frac52\sqrt{3}+1 \\ -\frac72 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -3,3 \\ -3,5 \end{pmatrix}$$ schaut man in die Zeichnung, so passt das. Und die Punkte $A$ und $C$ schaffst Du nun allein - oder?

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Wie ist man auf 1/2 Wurzel 3 gekommen

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Könntest du auch erklären bitte wie man auf -1/2 gekommen ist ?

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Wenn Du Dir diesen Ausdruck mal anschaust

$$R = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac12\sqrt{3} & -\frac12 \\ \frac12 & \frac12\sqrt{3} \end{pmatrix}$$

und weißt, dass $\alpha = 30°$ ist, dann könnte man doch auf die Idee kommen, wenn man jedes Element mit jedem anderen anderen vergleicht, dass

$$\cos 30° = \frac12 \sqrt{3}$$ und $$\sin 30° = \frac12$$ ist - oder? Guckst Du hier. Es wäre gut, wenn Du das auswendig kannst.

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Danke Werner jetzt habe ich es verstanden.

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Kurze frage noch beim multiplizieren wie nehme ich das

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Hallo Werner,

Könmtest du die Punkte A und C noch machen ?

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b) Berechnen Sie den Flächeninhalt von D, den Flächeninhalt des transformierten Dreiecks D', sowie das Verhältnis der beiden Flächeninhalte zueinander. Was fällt Ihnen auf? Begründen!

Vielen Dank

Wie muss ich das machen ?

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"Könntest du die Punkte A und C noch machen ?" Es wäre besser für Dich und motivierender für uns Antwortende, wenn Du ganz konkret fragen würdest, was Du nicht verstehst oder wo es klemmt. Überlege doch mal zum Punkt $A$ - der hat die Koordinaten $(0;0)^T$ - was passiert, wenn Du das erst mit $R$ und dann mit $m$ multiplizierst? Schau Dir dazu auch die Zeichnung von mir an.

"Aufgabe b) - Wie muss ich das machen ?" So wie es Dir Der_Mathecoach schon vorgerechnet hat. Soll ich seine Antwort rein kopieren - was erwartest Du?

Auch hier gilt wieder: bitte konkret fragen! Dir ist doch sicher schon aufgefallen, dass auf Deine ewiges 'wie muss ich das machen' und 'Ich habe leider keine Ahnung.' so richtig niemand mehr reagiert.

Zum Flächeninhalt nur soviel: unten siehst Du ein kleines Quadrat unten links mit dem Flächeninhalt 1. Dies wird um den Faktor $m=3$ gestreckt.

Welchen Flächeninhalt hat nun das große gestreckte Quadrat oben rechts? beim Dreieck ist es dasselbe!

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Frage 1)Ich habe eine Frage wie man auf - Wurzel 3 und -1 gekommen ist ?

Frage 2)"Könntest du die Punkte A und C noch machen ?"

Bei Punkt A habe ich folgende Lösung

Aufgabe b) habe ich nicht verstanden wie du es gemeint hast

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zu 1) und 2): Du hast nicht explizit gefragt, aber ich vermute, dass Du nicht weißt, wie man Matrizen multipliziert - ist das so? guckst Du hier: Matrizenmultiplikation oder auch im Wiki.

$$\begin{pmatrix} \frac12 \sqrt{3} & -\frac12 \\ \frac12 & \frac12 \sqrt{3}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac12 \sqrt{3} \cdot 0 + \left(-\frac12\right) \cdot (-2) \\ \frac12 \cdot 0 + \frac12 \sqrt{3} \cdot (-2)\end{pmatrix}$$ dann sollte auch klar sein,wie man auf dei $1$ bzw. die $\sqrt{3}$ kommt.

zu b): Du solltest nur sagen, wie groß das größere Quadrat oben rechts ist. Wenn die Rechnung $3\cdot3$ zu schwierig ist, so zähle die Kästchen. Und wenn Du dies getan hast so mache das gleiche mal mit einer Streckung von $4$ oder $10$ oder $2,5$. Dann müsstest Du dort eine gewisse Gesetzmäßigkeit erkennen.

@Klaus: Deine Fragen riechen nach den ersten Semestern eines technikaffinen Fachs, aber nach Deinen Reaktionen auf Antworten ordne ich Dich eher bei einem Mittelstufenschüler ein, der im Unterricht schon aufgegeben hat. Was machst Du gerade für eine Ausbildung? Ich würde auf Berufsschule tippen.

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Ja Werne meine Mathezeit war lange her nicht dass ich kein Mathe kann, sonder Themen Matrizen und andere ältere müsste ich nochmal schauen intensiv. Zu Frage b)

Du solltest nur sagen, wie groß das größere Quadrat oben rechts ist. Wenn die Rechnung 3⋅3 zu schwierig ist, so zähle die Kästchen. Und wenn Du dies getan hast so mache das gleiche mal mit einer Streckung von 4 oder 10 oder 2,5. Dann müsstest Du dort eine gewisse Gesetzmäßigkeit erkennen.

Wie meinst du mit der Streckung von 4 oder 10 oder 2,5 woran sieht man das und warum nehme ich das ? Welche Gesetzmäßigkeit erkenne ich ?

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@Klaus - selbst wenn Du so gar nicht weißt was Streckung ist, dann gib es doch einfach mal bei Google ein - und da kommst Du ganz schnell auf die 'Zentrische Streckung' mit vielen hübschen Bildern.

Und oben schrieb ich bereits: "Eine Skalierung um m=2,5 ist eine schlichte Multiplikation aller Koordinaten:" Mit der 'Skalierung' ist die Streckung gemeint und der Faktor $m$ ist hier $m=2,5$ (s. Aufgabenstellung)

Schau bitte mal auf dieses Bild. Hier siehst Du die Streckung eines Quadrats:

Ich habe den Vektor $\vec{OB} = (3;1)^T$ (gelb) nochmal raus gezeichnet. Streckung bedeutet eine Multiplikation mit einem Faktor. Oben in der Zeichnung ist der Faktor $=3$. Also ist $$\vec{OB'} = 3\cdot (3;1)^T = (3\cdot 3;3 \cdot 1)^T = (9;3)^T$$ (der rote Pfeil). Das wird nun mit jeder Ecke des Quadrats gemacht, wodurch aus dem anfänglichen Quadrat $ABCD$ mit Flächeninhalt $1$ (ein Kästchen) ein Quadrat mit Flächeninhalt $9$ wird.

"Welche Gesetzmäßigkeit erkenne ich ?" Das musst Du selbst wissen; bzw. es wäre gut, wenn Du eine Gesetzmäßigkeit erkennen würdest. Hast Du die Frage verstanden? In der Aufgabenstellung ist danach gefragt, wie sich die Fläche einer Figur zu der Fläche der um den Faktor $m$ gestreckten Figur verhält. Drehung und Verschiebung ändern die Fläche nicht. Führe die gleiche Streckung mit dem Quadrat auf Kästchenpapier mal mit den Faktoren $m=2$; $m=5$; $m=10$ und $m=2,5$ durch und schaue wie groß jedesmal die entstandenen Fläche ist und ob Du da eine Regel siehst.

"warum nehme ich das ?" Weil in der Aufgabe eine Helmert Transformation gefordert ist und die Streckung ein Teil der Helmert Transformation ist.

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Also

Ich verstehe schon alles mit dem m=2,5 dass es größer immer wirdin der Zeichnung das ablesen habe ich auch kapiert.

Faktoren m=2; m=5; m=10 und m=2,5 durch und schaue wie groß jedesmal die entstandenen Fläche ist und ob Du da eine Regel siehst.

Wie muss man das verstehen also wo kommt die m=2,m=5,m=10 sind das Beispiele ?

Zum Flächeninhalt nur soviel: unten siehst Du ein kleines Quadrat unten links mit dem Flächeninhalt 1. Dies wird um den Faktor m=3 gestreckt

Ich verstehe alles bis auf das wie man den Vektor OB→=(3;1)T bekommt weil m=2,5 ist

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Also warum wird das um 3 gestreckt

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Weil m ist ja 2,5

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"Also warum wird das um 3 gestreckt" warum nicht! Das ist nur ein Beispiel.

Du sollst das ja auch mit 2, 5, 10 und 2,5 machen - oder auch mit 4, 7 oder 23. Es geht nicht um irgendeinen Wert, sondern es ist gefragt in welchem Verhältnis die ursprüngliche Fläche und die gestreckte Fläche zueinander stehen - ganz allgemein. Welchen Flächeninhalt des gestreckten Quadrats hast Du denn beim Faktor 2,5 heraus bekommen?

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"Ich verstehe alles bis auf das wie man den Vektor OB→=(3;1)T" den Vektor OB bekommt man, indem man die Koordinaten von $B$ abliest:

mit $m=2,5$ hat das nichts zu tun.

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Hab 6,25 als Flächeninhalt oder 2,5 mal 2,5

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Ok ich kann es jetzt erkennen wie man es aus der Zeichnung ablesen kann.

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Hab als Ergebnis für den Faktor m=2,5

6,25

Welchen Flächeninhalt des gestreckten Quadrats hast Du denn beim Faktor 2,5 heraus bekommen?

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Ok also das es nichts mit den 2,5 zu tun hat kann ich es mit der 3 beispielsweise machen okay.

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"Welchen Flächeninhalt des gestreckten Quadrats hast Du denn beim Faktor 2,5 heraus bekommen?" 6,25 genau wie Du - das ist richtig. Und bei $m=3$ war es 9.

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Okay jetzt habe ich es gerafft