Nullstellen berechnen bei Exponentialfunktion f(x)=e^{x/2} - x^2

Question

f(x)=e^x/2—x²

Berechne die Nullstellen. Ist das nur möglich mit dem Newton Verfahren oder geht es auch genau?

Answer 1

Falls die Aufgabe so lautet:

e^{x/2} -x^2=0

dann nur z.B  mir dem  Newton Verfahren.

x₁≈1.42961

x₂≈-0.815553

x₃≈8.61317

Answer 2

Du musst das Newton-Verfahren auch Newton-Raphson-Verfahren,verwenden:$${x}_{1}={x}_{i}-\frac{f{x}_{i}}{f'{x}_{i}}$$ Jetzt musst du dir einen Punkt suche, der in der Nähe einer Nullstelle liegt. (Hier musst du, wenn du keinen Plotter verwendest etwas rumspielen)

Hier sieht du, dass es eine Nullstelle sehr nah bei 9 gibt.

Du musst nun die erste Ableitung deiner Funktion bilden:$$ f'(x)=\frac{e^\frac{x}{2}}{2}-2x $$ Jetzt musst die die Neun in beide Funktionen einsetzen d.h., es sieht so aus:$${x}_{1}=9+\frac{f(9)}{f'(9)}$$ Oder auch etwas ausführlicher:$$ {x}_{1}=9-\frac{e^\frac{9}{2}-9^2}{\frac{e^\frac{9}{2}}{2}-2 \cdot 9} \approx 8.666138091$$ Jetzt musst du dasselbe machen musst aber statt 9 die " 8.666138091" einsetzen. Das sieht dann so aus:$${x}_{2}={x}_{1}-\frac{f({x}_{1})}{f'({x}_{1})}$$ Das machst du dann bis sich kaum noch was ändert oder deine gewünschte Accuracy erreicht ist. Außerdem gute Startpunkte wären \( \text{-1 und 1} \)

Viel Glück

Answer 3

Natürlich geht das auch mit exakten Umstellen:

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

    e^{x/2} =x^2 | Wurzel, aber Vorzeichen beachten
    e^{x/4} =x
§5 Typ e^{a*x} = b*x + c mit a=1/4, b=1, c=0
x=-LambertW(n, -a/[b*e^{a*c/b}]) /a - c/b
x=-LambertW(n, +/-1/4)*4 , da durch Quadrieren beide Vorzeichen möglich

n  | -LambertW(n, +1/4)*4
-2 | 15.249177645568959001 + 42.607520550645771488.. i
-1 | 12.035992039880184798 + 16.306119155966390516.. i
0 | -0.81555341880896065779...
1 | 12.035992039880184798 - 16.306119155966390516.. i
2 | 15.249177645568959001 - 42.607520550645771488.. i

n  | -LambertW(n, -1/4)*4
-2 | 13.958929136918368403 + 29.656218120384146580.. i
-1 | 8.6131694564413985969
0 | 1.4296118247255556123
1 | 13.958929136918368403 - 29.656218120384146580.. i
2 | 16.223494107624604760 - 55.409338634269085545.. i

Alle 10 Lösungen bestehen die Probe.

Von den 10 Lösungen sind 3 reell und 7 komplex.

zu "...genau..": Wieviel 1000 {oder Mio.} Nachkommastellen brauchst Du? (bin Spezialist darin)

Achtung: obwohl die LambertW Funktion schon hundert Jahre bekannt ist, alle guten Rechner sie kennen { http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php }

und Wikipedia sie als "elementare Funktion" betitelt,

wollen Lehrer das oft nicht hören und sagen, dass es nur Näherungslösungen gibt.

Dann müssen sie aber auch sqrt(x) {Wurzel} und sin(x) dazurechnen, da sie genau so iterativ berechnet werden.