Bilden die Vektoren eine Basis des ℝ³

Question

Aufgabe:

Bilden die folgenden drei Vektoren

$x_1=\left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right), x_2=\left(\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right)\text{ und }x_3=\left(\begin{matrix}2\\1\\-1\end{matrix}\right)$

eine Basis des $\mathbb{R}^3$?

Answer 1

Du musst prüfen ob die 3 Vektoren linear unabhängig sind.

dh. Prüfgleichung für lineare Unabhängigkeit nachrechnen

Comments

kann ich die wie folgt lösen

1 1 2 |0                            1 1 2 0

1 2 1  |0                           0 1 -1 0

1 3 -1 |0 .... (gauß)          0 0 -1 0          -> linear unabhängig also bilden sie eine Basis

Wäre das so richtig

Danke 

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JA so macht man das

Answer 2

Um zu prüfen, ob die drei Vektoren

$x_1=\left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right), x_2=\left(\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right)\text{ und }x_3=\left(\begin{matrix}2\\1\\-1\end{matrix}\right)$

eine Basis bilden, kannst Du diese als Spalten einer Matrix schreiben und davon die Determinante berechnen. Ist diese $0$, so sind die gegebenen Vektoren linear abhängig und bilden keine Basis:

$A=\left(\begin{matrix}1&1&2\\1&2&1\\1&3&-1\end{matrix}\right)$ ist die Matrix, von der die Determinante berechnen wird.

Die Determinante $\det(A)$ von $A$ ist

$\det(A)=-1$

und deshalb bilden die drei Vektoren eine Basis.

Answer 3

[1, 1, 1] und [1, 2, 3] sind offensichtlich linear unabhängig.

Nun prüft man ob

r·[1, 1, 1] + s·[1, 2, 3] = [2, 1, -1]

Da es hier keine Lösung gibt sind die Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis des R³.

Answer 4

Hallo Abb,

im ℝ³ sind drei Vektoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$  genau dann linear abhängig,

 wenn ihr Spatprodukt  ($\vec{u}$ x $\vec{v})\cdot\vec{w}$  den Wert Null hat.

Gruß Wolfgang