Vollständige Induktion mit Iduktionsannahme

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Vollständige Induktion mit Iduktionsannahme

Hallo muck,

Du meinst wahrscheinlich

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{n}{2n+1}$$ mit einem $n$ im Zähler! Induktionsanfang ist doch einfach: setzt $n=1$ und prüfe, ob die Annahme stimmt:

$$\sum_{k=1}^1 \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{2\cdot 1 + 1}$$ das stimmt. Und mit der Annahme, dass es für $n$ richtig ist, mache den Schritt von $n$ nach $n+1$. Es ist

$$\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} $$ $$\begin{aligned} &= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \\ &= \frac{n}{2n + 1} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \\ &= \frac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \\ &= \frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)} \\ &= \frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3)} \\ &= \frac{n+1}{2(n+1)+1} \end{aligned}$$ q.e.d.

Beantwortet 26 Mär 2018 von Werner-Salomon

Roland · Answer 1 · 2018-03-26T14:04:14+0000

Induktionsanfang:Für k=1 ist 1/3=1/3

Induktionsannahme: Die zu beweisende Formel gilt für ein bestimmtes n.

Induktionsbehautung: Unter der Voraussetzung der Induktionsannahme: gilt die zu beweisende Formel auch für n+1

Beweis: Addiere in der Annahme auf beiden Seiten den nächsten Summanden und zeige, dass die rechte Seite das Gleiche ergibt, wie 1(2n+1)+nächster Summand.

habakuktibatong · Answer 2 · 2018-03-26T17:58:08+0000

So hektografierte Formeln pflegen ja zu stimmen. Aber irgendwas geht da schief. Deinen Bruch schreibe ich

f ( k ) = 1 / ( 4 k ² - 1 ) ( 1 )

f ( 1 ) = 1 / ( 4 - 1 ) = 1/3 ; ok ( 2 )

f ( 2 ) = 1 / ( 4 * 2 ² - 1 ) = 1/15 ( 3a )

f ( 1 ) + f ( 2 ) = 1/3 + 1/15 = ( 5 + 1 ) / 15 = 2/5 ( 3b )

Laut deiner Formel wären aber nur Stammbrüche zugelassen.

Vollständige Induktion mit Iduktionsannahme

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