Lineare Optimierung, Simplexverfahren, Gewinnmaximierung

Question

ich habe bei der folgenden Aufgabe einige Probleme und würde mich über Hilfe freuen.

Eine Kaffeerösterei bezieht während der Erntesaison Bohnen von zwei Plantagen A und B. Sie muss von
A mindestens 50 t und von B mindestens 60 t wöchentlich abnehmen, während A nicht mehr als 400 t
und B nicht mehr als 200 t in der Woche liefern können. Die Rösterei selbst hat eine Kapazität von 500 t
je Woche.
Der Gewinn beträgt 600 EUR bzw. 400 EUR pro Tonne bei Kaffee A bzw. B.
a) Ermitteln Sie durch Anwendung des Simplexverfahrens, bei welchen Abnahmemengen der maximale
Gewinn erzielt wird. Wie hoch ist dieser?
b) Erhöht sich der Gewinn, wenn Plantage B mehr liefert?
Erhöht sich der Gewinn, wenn die Kapazität der Rösterei erhöht wird?
c) Wie viel mehr müsste Plantage A liefern, damit der Gewinn um 2.000 EUR zunimmt?

Ich habe zuerst folgende Nebenbedingungen aufgestellt.
I.    a >= 50
II.   b >=60
III.  a<=400
IV.  b<=200
V    a+b<=500

Und die Zielfunktion: 600a+400b=max

Anschließend habe ich I. und II. mit -1 multipliziert damit ich auch dort <= stehen habe.
Also:

I.   -a<= -50
II.  -b<= -60

Danach habe ich die Gleichungen mit Schlupfvariablen in ein Tableau übertragen und das Pivotelement herausgesucht (rot markiert). (größte Zahl aus der letzten Zeile = Pivotspalte, dann die Zahlen der letzten Spalte durch die Zahlen der Pivotspalte geteilt, Kleinster Wert = Pivotzeile, Schnittpunkt Pivotspalte und Pivotzeile = Pivotelement.)

a	b	s1	s2	s3	s4	s5
-1	0	1	0	0	0	0	-50
0	-1	0	1	0	0	0	-60
1	0	0	0	1	0	0	400
0	1	0	0	0	1	0	200
1	1	0	0	0	0	1	500
600	400	0	0	0	0	0

Dann habe ich die Pivotzeile mit -1 multipliziert und folgendes gerechnet:

Zeile III - Zeile I
Zeile V - Zeile I
Zeile VI - (600 * Zeile I)

und hatte folgendes Tableau heraus:

a	b	s1	s2	s3	s4	s5
1	0	-1	0	0	0	0	50
0	1	0	1	0	0	0	-60
0	0	1	0	1	0	0	350
0	1	0	0	0	1	0	200
0	1	1	0	0	0	1	450
0	400	600	0	0	0	0	G-30000

dann suche ich wieder die Pivotspalte raus (s1, da größter  Wert 600) und teile die letzte Spalte durch die Zahlen aus der Pivotspalte.

Jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter.
Wenn ich 50/(-1) rechne kommt eine negative Zahl raus. Darf eine negative Zahl die Pivotzeile sein?
Und war meine Rechnung bis dahin überhaupt Richtig oder habe ich irgendetwas (oder gleich mehrere Dinge) falsch gerechnet?

Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen.

Answer 1

Die neg. Zielfunktion ist meinem Programm geschuldet (Simplex Stop wenn Koeffizienten Zielfkt pos):

https://geogebra.org/m/fP8cnZbb

Du startest mit dem Tableau ein nonegativ Max Programm, negative Schlupfvariable für die nicht ins Standardprogramm passenden NB >= (verletzen die nicht Negativitätsbedingung)

$\left(\begin{array}{rrrrrrrr}1&0&-1&0&0&0&0&50\\0&1&0&-1&0&0&0&60\\1&0&0&0&1&0&0&400\\0&1&0&0&0&1&0&200\\1&1&0&0&0&0&1&500\\-600&-400&0&0&0&0&0&0\\\end{array}\right)$

und machst die neg. Schlupfvariable nieder:

Pivotsuche: PivotSpalte=1 ist größte positive Zahl in der ersten Zeile der neg. Schlupfvariablen.  PivotZeile=1 (müssen im Programm explizit eingegeben werden) wie im Standard-Verfahren Simplex-Schritt ausführen:

$\left(\begin{array}{rrrrrrrr}1&0&-1&0&0&0&0&50\\0&1&0&-1&0&0&0&60\\0&0&1&0&1&0&0&350\\0&1&0&0&0&1&0&200\\0&1&1&0&0&0&1&450\\0&-400&-600&0&0&0&0&30000\\\end{array}\right)$

jetzt die 2. neg. Schlupfvariable 

Pivotsuche: PivotSpalte=2 ist größte positive Zahl in der zweiten Zeile der neg. Schlupfvariablen.  PivotZeile=2 (müssen im Programm explizit eingegeben werden) wie im Standard-Verfahren Simplex-Schritt ausführen:

$\left(\begin{array}{rrrrrrrr}1&0&-1&0&0&0&0&50\\0&1&0&-1&0&0&0&60\\0&0&1&0&1&0&0&350\\0&0&0&1&0&1&0&140\\0&0&1&1&0&0&1&390\\0&0&-600&-400&0&0&0&54000\\\end{array}\right)$

Jetzt setzt das Standard-Verfahren ein (2-Tableaus weiter bist Du bei

$\left(\begin{array}{rrrrrrrr}1&0&0&0&1&0&0&400\\0&1&0&0&-1&0&1&100\\0&0&1&0&1&0&0&350\\0&0&0&0&1&1&-1&100\\0&0&0&1&-1&0&1&40\\0&0&0&0&200&0&400&280000\\\end{array}\right)$

max -> {280000,{y=100,x=400}}

Answer 2

Eine einfachere Berechnungsmöglichkeit wäre

Skizze erstellen
Eckpunkte berechnen oder ablesen
Eckpunkte in die Gewinnfunktion einsetzen

( A  | B )  Gewinn = 600A + 400B
( 50 | 60 ) = 54000
( 50 | 200 ) = 110000
( 300 | 200 ) = 260000
( 400 | 100 ) = 280000
( 400 | 60 ) = 264000

A = 400
B = 100
ist die Lösung

Comments

Wenn die Frage lautet

a) Ermitteln Sie durch Anwendung des Simplexverfahrens, bei welchen Abnahmemengen der maximale Gewinn erzielt wird. Wie hoch ist dieser?

dann bekommst du für die Mühe und die richtige Lösung zwei Trostpunkte und für den Rechenweg leider keinen Punkt.

Genauso wenn bei quadratischen Gleichungen die quadratische Ergänzung gefragt ist und der Schüler die pq-Formel anwendet, weil er die sicher kann.

Dummerweise gibt es für den Rechnenweg die meisten Punkte und nicht für die Lösung.

---

Die Intensionen zur Beantwortung einer Frage
können recht unterschiedlich sein.

Der Grund für meine Antwort war
- es geht auch einfacher als die andere
Antwort
- Bekämpfung der eigenen Verfalls - /
Demenzerscheinungen durch geistiges
Fitnesstraining. Meine ich ernst.

  Hier zur Erheiterung im tristen Alltag
noch die besten Stilblüten aus dem
Matheforum

Was ist Newton ? Hat jemand eine Tabelle ?

Ich wär euch über einen Rechenfehler sehr dankbar !

Hallo was wären fie Nullstellen bei fer Aufgabe

mit 1 also zum beispielt (1+40x)³ oder kann sich auch benutzt werden für potenzfunktionen wie (2+40x)². Online fand ich nichts außer mit eins sollte mir eig
klar machen das es nur mit eins
geht aber ich frage lieber einfach mal nach.

Ich weiß, dass man immer für x das einsetzt gegen was das laufen soll wenn nicht 0 rauskommt. Bin ich jetzt fertig ?

F(x)=e^-x*x² der koordinatensprung der punkt p(u/0) u der punlt q(u/f((u)) ,u>0 bilfen rechtwinköiges dreieck ermittle u , für welchen der föächeninhal des dreicks max ist.

Ableitung von Wurzel(x)
In dr letzen frage hatte ich gefrakt mit Wurzel x. Aber wiso ist
Wurzel x denn das uebehaupt ??? Wie leitet Mann das ab?!

Ich muss immer mueh srlig i2 machen und dann einzelnd kann ich nicht irgwie i8 i machen?

ketzt muas es richtig sei
( jetzt muß es richtig sein. Anm. des Übersetzers )