Gruppentheorie: Bestimmen eines Elements

Question

Gegeben ist eine Gruppe G mit neutralem Element G und zwei beliebige Elemente a, b ∈ G. Bestimmen Sie (ab)^-1 sowohl für den Fall, dass G nicht abelsch ist, als auch im kommutativen Fall. 

Weiß jemand, wie man hier vorgehen muss? Was bedeutet "bestimmen"? Muss man nachweisen, dass es ein inverses Element zu a*b gibt?

:)

Answer 1

Mit \(a\) und \(b\) ist auch \(ab\) und \((ab)^{-1}\) aus \(G\). Das garantieren die Gruppenaxiome. Zu beweisen ist da nichts. Wie auch? Eine Formel für \((ab)^{-1}\) sollst Du angeben. In der Formel sollen einfachere/elementarere Groessen vorkommen. Infrage kommen bloss \(a\), \(b\), \(a^{-1}\), \(b^{-1}\) und \(e\). Denn die Existenz von irgendwas anderem geben die Gruppenaxiome nicht her. Und es gibt auch nur die eine Verknuepfung.

Comments

Und, was ist jetzt Deine Formel? Auf die musst Du schon selber kommen, bevor Du sie beweisen kannst. Um draufzukommen, kannst Du Dir z.B. ueberlegen, was man für \((ab)^{-1}\) schreiben kann, wenn man \(G=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) und als Verknuepfung die gewoehnliche Multiplikation nimmt.

Answer 2

  Du sollst dir einfacb merken, dass im Allgemeinen

     (  a  b  )  ^ -  1  =  b ^ -  1  a  ^  -  1

    Bitte Reihenfolge beachten; mach dir das selber klar.