Mengenfunktion Vereinigung Beweis

Question

Es sei f: A→B eine Funktion

a) Zeigen Sie für C,D ⊆ A, dass f(C ∪ D) = f(C) ∪ f(D)

b) Geben Sie ein Gegenbeispiel an, das zeigt, dass im Allgemeinen f(C ∩ D) = f(C) ∩ f(D)
nicht gilt.

zu a) Soweit ich weiß kann ich dies Beweisen indem ich Zeige, dass  f(C ∪ D) ⊆ f(C) ∪ f(D) und f(C ∪ D) ⊇ f(C) ∪ f(D)

ob dies die schlaueste Methode ist weiß ich nicht. Und wie man dies beweist weiß ich leider auch nicht.

Answer 1

Zeige, dass  f(C ∪ D) ⊆ f(C) ∪ f(D) und f(C ∪ D) ⊇ f(C) ∪ f(D)

ist ein guter Anfang. Der 1. Teil geht z.B. so:

Sei   y ∈    f(C ∪ D)

==>  ∃ x  ∈  C ∪ D  mit  f(x) = y

==>  ∃ x  ∈  C  mit  f(x) = y  oder   ∃ x  ∈  D  mit  f(x) = y

 ==>     y ∈   f(C)       oder           y ∈   f(D)

==>      y ∈  f(C)  ∪ f(D)

2. Teil:

Sei    y ∈  f(C)  ∪ f(D)

 ==>     y ∈   f(C)       oder           y ∈   f(D)

==>  ∃ x  ∈  C  mit  f(x) = y  oder   ∃ x  ∈  D  mit  f(x) = y

==>  ∃ (x  ∈  C   oder   x  ∈  D ) mit  f(x) = y

==>  ∃ x  ∈  C ∪ D  mit  f(x) = y

==>    y ∈    f(C ∪ D)

 Geben Sie ein Gegenbeispiel an, das zeigt, dass im Allgemeinen f(C ∩ D) = f(C) ∩ f(D)
nicht gilt:

f : ℝ --> ℝ   ;  f(x) = x^2

C=[-2;0] D=[0;2]  C∩D = {0}

f(C) = [0;4] = f(D) also  f(C) ∩ f(D)= [0;4]

f(  C∩D)  =f( {0}) =  {0}