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Vorwort:

Der Satz des Heron, im Englischen "Heron's formula" ist nach dem Mathematiker Heron von Alexandria benannt. Er ist außerdem bekannt fĂŒr das "Heron-Verfahren" zum Berechnen von Quadratwurzeln bekannt. Herons Werke sind teilweise nur fragmentarisch ĂŒberliefert; meist nur bestehend aus einigen Fetzen Vorlesungsnotizen. Den Satz des Heron auf der anderen Seite hat er in seinem Buch "Metrica", welches 60 n. Chr. geschrieben wurde, notiert und bewiesen.

Hero_of_Alexandria.png

Satz des Heron:

Dieser Artikel wird einzig und allein vom Satz des Heron handeln, welcher verwendet wird, um den FlÀcheninhalt eines Dreiecks mit drei gegebenen Seiten zu berechnen. Hierbei ist es völlig egal, welcher Art von Dreieck ihr begegnet. Der Satz des Heron wird euch immer treu bleiben. Er ist also universell anwendbar.

Der Satz des Heron besagt Folgendes:$$ F_{\Delta}=\sqrt[]{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$ Wobei der Parameter "s" wie folgt bestimmt wird:$$ s=\frac{a+b+c}{2} $$ Das ist die normale Darstellung des Satzes. Es gibt jedoch andere Darstellungen, deren Ziel es ist, die Formel einfacher und handlicher zu machen. Hier meine Lieblingsdarstellung des Satzes:$$ F_{\Delta}=\frac{\sqrt[]{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{4}$$ Es ist jedoch möglich, dass Heron nicht der Erste war, der zu dieser Erkenntnis kam. Es wird vermutet, dass Archimedes die Formel schon zwei Jahrhunderte vor Heron entdeckte.

BeweisfĂŒhrung ĂŒber den Satz des Pythagoras:

Untitled.png 

Nach dem Satz des Pythagoras gilt, dass   \( \text{bÂČ=hÂČ+pÂČ} \) und  \( \text{aÂČ=hÂČ+(c-p)ÂČ} \) ist. Subtrahieren wir diese Gleichungen voneinander erhalten wir:$$ a^2-b^2=c^2-2cp $$ Diese Gleichung erlaubt es uns, \(p\) in Bezug auf die Seiten des Dreiecks auszudrĂŒcken:$$ p=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c} $$FĂŒr die Höhe des Dreiecks haben wir \(h^2=b^2-p^2\). Durch das Ersetzen von "p" durch die oben angegebene Formel und die Anwendung der Differenz der Quadrate IdentitĂ€t erhalten wir:$$ h^2=b^2-\left(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}\right)^2 $$ Diese mĂŒssen wir nun etwas umformen:$$ =\frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2} $$$$ =\frac{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)}{4c^2}$$$$ =\frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}$$ Nun mĂŒssen wir uns an folgende Gleichung erinnern:$$ s=\frac{a+b+c}{2} $$  Denn jetzt wird das durch die alten Parameter ersetzt:$$ =\frac{2(s-a)\cdot2s \cdot 2(s-c)\cdot2(s-b)}{4c^2}$$$$ =\frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}$$Dieses Ergebnis wenden wir nun auf die Formel an, die die FlĂ€che eines Dreiecks aus seiner Höhe berechnet:$$ A=\frac{c \cdot h}{2} $$$$ =\sqrt[]{\frac{c^2}{4}\cdot\frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}}$$$$ =\sqrt[]{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$ Damit ist mathematisch die GĂŒltigkeit des Satzes des Heron bewiesen. Kommen wir nun also zur Anwendung des Satzes.

Anwendungsbeispiel:

Gegeben ist ein Dreieck, welches gleichschenklig ist. Es werden folgende Angaben gemacht:$$ a=12 \quad c=3cm$$ Hierbei ist nicht zu vergessen, dass bei einem gleichschenkligen Dreieck die beiden Schenkel (a=b) gleich lang sind. Setzen wir die Werte also in den Satz des Herons ein:$$ F_{\Delta}=\frac{\sqrt[]{4\cdot12^2\cdot 12^2-(12^2+12^2-3^2)^2}}{4}=\frac{27\sqrt[]{7}}{4}\approx17.86cm^2 $$ 


Ich hoffe, dass euch mein Artikel gefÀllt und das der Satz des Heron mehr Beachtung erhÀlt, da er universell anwendbar und bei vielen Sachverhalten sehr hilfreich ist.

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geschlossen: Mathe-Artikel
von Unknown
von 19 k

Übrigens: Dein Artikel gefĂ€llt mir auch ;-)

Ist es fĂŒr Dich in Ordnung wenn ich die von Silvia geĂ€ußerten VorschlĂ€ge in Deinen Artikel einpflege? Falls Ja: Auch die kursiv gedruckten?

Ich habe mich in der 8. Klasse auch mal mit der Heron-Formel beschĂ€ftigt und eine "Determinanten-Formel" dafĂŒr entwickelt (bzw. mehrere, wenn Du die Permutationen der Matrix, die als Basis dafĂŒr dient, einzeln zĂ€hlst). Soll ich die hier posten? Willst Du die ggf. mit aufnehmen?

Gerade im Bereich "Analytische Geometrie" in der Oberstufe hilft die Heron-Formel sehr :-) Du wirst dann sehen, was ich meine ;-)

Vielen Dank Silvia fĂŒr deine hervorragende Arbeit! Die ErsetzungsvorschlĂ€ge kann ich nur bekrĂ€ftigen. Schön, dass dir mein Artikel gefĂ€llt.

@André

Du kannst die "Determinanten-Formel" gerne posten. Ich habe das auf Wikipedia auch gesehen. Aber mit Determinanten und Matrizen etc. kenne ich mich bis dato nicht aus. WĂ€re aber schön, wenn du Silvias VorschlĂ€ge und deinen Zusatz-Content noch in den Artikel implementierst.

Schön, dass mein Artikel auch dir gefÀllt.

Edit:

Ich finde, dass der Satz des Heron komplett unterbewertet ist. Es gibt so viele Dreiecke, in denen man mit dem Satz des Heron so viel Zeit spart. Und wenn man den sogar noch in anderen Fachgebieten einsetzen kann, um so besser!

Lieber Anton, 

die Änderungen sind eingepflegt. Bist Du so zufrieden oder wĂŒnschst Du weitere Änderungen? 

Ich habe das auf Wikipedia auch gesehen.

Meine Formel bestimmt nicht ;-) Diejenige, die ich damals entwickelt habe, ist "neu": 
$$A_\Delta=\sqrt{-\frac{1}{16}\det{(M)}}=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{-\left|\begin{matrix}0&a&b&c\\a&0&c&b\\b&c&0&a\\c&b&a&0\end{matrix}\right|}$$

Ja, eins wÀre noch gut und auch wichtig:

"Diese Gleichung erlaubt es uns, p in Bezug auf die Seiten des Dreiecks auszudrĂŒcken:"

Unter dem Satz steht aber

d=....

es muss aber p=... heißen.

Achso die Formel hast du selbst gemacht?  In der 8. Klasse?!?!?!?!

Ist erledigt :-) Wieso hast Du  bÂČ=hÂČ+pÂČ und  aÂČ=hÂČ+(c-p)ÂČ eigentlich im \(\TeX-\)Code als \text{...} eingegeben?

Achso die Formel hast du selbst gemacht?  In der 8. Klasse?!?!?!?!

Naja, die basiert ja im Prinzip nur auf der Heron-Formel (da habe ich ein Referat als Klausurersatz zu gehalten :-)). Schwer ist die Herleitung "meiner" Formel ja nicht (vor allem, wenn Du den Wikipedia-Eintrag siehst).

Ich habe aber nicht genau diese Formel "gefunden", sondern eine mit irgendeiner der Permutationen von \(M\). Du kannst ja ausrechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass es doch genau diese Formel war ;-) (Das geht tatsÀchlich, wenn man annimmt, dass alle Möglichkeiten gleichwahrscheinlich sind!)

$$A_\Delta=\sqrt{-\frac{1}{16}\det{(M)}}=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{-\left|\begin{matrix}0&a&b&c\\a&0&c&b\\b&c&0&a\\c&b&a&0\end{matrix}\right|}$$ Kannst du gerne mit einbringen. Mach dazu einfach eine neue Rubrik mit dem Namen:  "Determinantendarstellung des Satzes" oder so in der Art. Die Farbe fĂŒr die Überschriften findest du ja. Das ist das zweit-hellste Blau. Kannst du dazu auch noch was schreiben? Vielleicht wofĂŒr man das verwendet? Du meintest ja analytische Geometrie. 

Außerdem hat sich im 2. Satz ein Fehler eingeschlichen; das ist keine Tautologie.

Er ist außerdem bekannt fĂŒr das "Heron-Verfahren" zum Berechnen von Quadratwurzeln bekannt.

@André: Bitte ErgÀnzungen einpflegen.

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