Pyramide wird von einer Kugel umschrieben

Question

Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche und einheitlicher Kantenlänge a wird von einer Kugel umschrieben. Berechnen Sie das Volumenverhältnis Pyramide zu Kugel.

Ich habe r herausgefunden, da es die Hälfte der Diagonale ist: a * Wurzel2 / 2

Ich verstehe aber nicht ganz, wieso die Höhe auch a * Wurzel2/2 ist..

Answer 1

Hallo

schneide die Pyramide  durch die Spitze und die Diagonale des Quadrates. Dann hast du ein Dreieck mit einer Seite Diagonale, a*\sqrt(2) und 2 Seiten a. dann ist die Höhe  nach Pythagoras h=a/2*sqrt(3), zeichne dir immer die Schnitte auf, in denen die Höhe liegt.

Gruß lul

Answer 2

Das Verhältnis beträgt 1 : (2 π).

Der Mittelpunkt der Pyramidengrundfläche ist auch Mittelpunkt der Kugel.

Answer 3

Ein Oktaeder passt einmal in die Kugel und ein Oktaeder besteht aus 2 Pyramiden.

Das Verhältnis beim Oktageder von Volumen zum Umkugelvolumen ist 1/pi.

Damit ist das Verhältnis von Pyramide zum Umkugelvolumen 1/(2pi).

Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Oktaeder

Comments

Das Verhältnis beim Oktageder von Volumen zum Umkugelvolumen ist 1/pi.

Deine Antwort erweckt den Anschein, dass man das stillschweigend voraussetzen kann. Ich denke nicht, dass das der Sinn der Aufgabe war, die dadurch nur unnötig verkompliziert wird. Wieso sollte die Aufgabe mit einem Oktaeder einfacher sein als mit einer regelmäßigen Pyramide?

Ansonsten wird nur wiederholt, was bereits gesagt wurde.

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Ansonsten wird nur wiederholt, was bereits gesagt wurde.

Ich denke das Verständnis für die Zusammenhänge wird allein durch die Skizze des Oktaeders in der Kugel wesentlich klarer.

Auf der Seite von Wikipedia werden zudem ein paar wichtige Zusammenhänge gut dargestellt.

Ansonsten sehe ich leider erst jetzt, dass dieses eine Uraltfrage ist. Aber wer auch immer in Zukunft darüber stolpert dem kann ich empfehlen sich auch mit der regelmäßigen Doppelpyramide (Oktaeder) zu beschäftigen und sich selber auch dabei wichtige Zusammenhänge selber herzuleiten.

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Es sollte für einen Gymnasiasten auch zumutbar sein, eine kleine Kugel zwischen Dreiecksfläche und Halbkugel einzuschreiben und deren maximalen Radius auszurechnen :)

\(\displaystyle r= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{3}}\cdot a \)