Unendliche Summen, Reihen

Question

Wie kann ich herausfinden, ob die Formel für j) und k) auch gilt?

Danke schonmal

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Ich weiß, dass bei j) die "e" herauskommt ~2.7 aber wie komme ich auf die Steigung q? Mein Taschenrechner liefert, wenn man die Reihe eintippt, nicht das Ergebnis ~2.7, warum? (CAS fähig)

Answer 1

Hallo Donald,

Die Summenformel

$$s = x_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$

gilt nur für die geometrischen Reihe

$$s = x_1 \cdot \left( 1 + q + q^2 + q^3 + \dots + q^{n-1} + q^n\right)$$ und hier gilt immer, dass

$$x_n = q \cdot x_{n-1} \quad \text{ oder } \quad x_n = x_1 \cdot q^n$$

wobei $q$ konstant, also sich mit dem $n$ nicht verändert. Beide Ausdrücke sind äquivalent. Dies ist z.B. bei b) und c) der Fall. Und ebenso bei d), da hier

$$\text{d) } x_n = 3 \cdot 0,3^{n-1} = 3 \cdot 0,3^n \cdot 0,3 ^{-1} = (3 \cdot 0,3 ^{-1} ) \cdot 0,3^n = 10 \cdot 0,3^n$$

Du kannst das prüfen, indem Du zwei Folgeglieder $x_n$ und $x_{n+1}$ teilst. Das Ergebnis muss konstant sein. Bei

$$\text{d) } \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{3 \cdot 0,3^{n}}{3 \cdot 0,3^{n-1}} = 0,3 = \text{konstant}$$ ist dies erfüllt. Bei

$$\text{j) } \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\left( 1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}} = f(n) \ne \text{konstant}$$

$$\text{k) } \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{\sqrt{n+1}}{n+2}}{\frac{\sqrt{n}}{n+1}} = \frac{(n+1) \sqrt{n+1}}{(n+2)\sqrt{n}}= f(n) \ne \text{konstant}$$ dagegen nicht.

Gruß Werner

Comments

Man könnte die Frage des Aufgabenblattes  "Für welche dieser Summen gilt die Formel  s = ... "  mit gutem Grund mit "Für gar keine !" beantworten.

Und Werners  x_(n) = x_(1)·qⁿ  gilt nur in Ausnahmefällen.

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Heißt das also, so wie ich es angekreuzt habe ✓ für richtig und x für falsch stimmt es?

Und für  j) und k) gilt die Formel nicht?

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Hallo Donald,

ja - ich würde sagen, das passt so, wie Du es angestrichen hast. Und für j) und k) gilt die Formel sicher nicht. Die Aufgabe ist etwas irreführend in der Fragestellung. Aber dazu sollte sich hj2166 noch mal äußern! (s.o.)

Gruß Werner

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Hallo hj2166,

Man könnte die Frage des Aufgabenblattes  "Für welche dieser Summen gilt die Formel  s = ... "  mit gutem Grund mit "Für gar keine !" beantworten.

Das Orakel der Mathelounge hat mal wieder gesprochen ;-)

ich bin mir nicht sicher, ob ich Dich verstanden habe. Oben in der Aufgabe ist von unendlichen Summen die Rede. Die Formel $$s = x_1 \frac{1-q^n}{1-q}$$ gilt für endliche Summen. Wobei man aber mit dem Argument, dass

$$\lim_{n \to \infty} q^n = 0$$

ist (für $q \lt 1$), die Formel für unendliche Summen gelten lassen könnte.

Weiter steht in der Aufgabenstellung

Für welche dieser Summen ...

da stehen aber keine Summen, sondern Ausdrücke, die $x_n$ als eine Funktion von $n$ oder $x_{n-1}$ beschreiben. Insofern steht da keine Summe, für die diese Formel gilt.

Beides ist unschön für eine Aufgabe aus einem Schulbuch. Aber Schulbuchautoren sind auch nur Menschen.

@hj2166: Kläre uns doch bitte mal auf, warum Du meinst, dass gar keine gilt!

Gruß Werner

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Du hast ja das Wesentliche schon genannt.

Wofür die Abkürzung "s" steht, wird in der ersten Zeile erklärt, nämlich für den Grenzwert einer unendlichen Reihe.

Das erfragte s in der zweiten Zeile enthält ein n, steht also wohl für eine endliche Summe, stimmt also nicht mit dem vorher definierten überein.

Die Formel der zweiten Zeile gilt für die Reihe jeder geometrischen Zahlenfolge unabhängig von ihrer Konvergenz also auch für b. und g., wie soll sie aber mit dem angegebenen CAS-Befehl überprüft werden ?