globales Optimum an der Stelle a

Question

Die Funktion
f( x1 , x2 )=3 x1 2 +4 x1 x2 +3 x2 2 -18 x1 -12 x2 -16

besitzt ein globales Optimum an der Stelle a. Finden Sie dieses Optimum. Ist es ein Maximum oder ein Minimum?

a. a=(3,0 )⊤ , Maximum
b. a=(2,3 )⊤ , Minimum
c. a=(2,3 )⊤ , Maximum
d. a=(-1,0 )⊤ , Minimum
e. a=(3,0 )⊤ , Minimum

 Woher weiß ich ob es ein Minimum oder Maximum ist? Auf die Zahlenwerte komm ich :) danke schonmal

Comments

Bitte Funktionsterm formatieren oder dich an den "ähnlichen Fragen" orientieren. Bsp. https://www.mathelounge.de/309656/globales-optimum-an-der-stelle-x

Answer 1

Hallo helpless,

f_x = 0  und  f_y = 0 ergibt den einzigen kritischen Punkt  (3|0)

Mit den zweiten partiellen Ableitungen:

Wegen  f_xx • f_yy - f_xy²  = 6 • 6 - 4² > 0     liegt  bei (3|0) ein lokaler Extrempunkt                                                  mit f(0,3) =  - 43  vor.

 Wegen f_xx > 0  mit f(0,3) = - 43 < 0 handelt es sich um ein lokales Miniimum.

f(2,3) = -25   und  f(-1,0) = 5

→  unter den Vorgaben ist (-1| 0) die einzige mögliche  globale Maximumstelle

                 ( ggf. nur möglich an deiner Randstelle von D)

        und  (3|0)   sicher eine globale Minimumstelle

 Kontrolle:

 https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+3x%5E2%2B4xy%2B3y%5E2-18x-12y-16

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo helpless,

musste meine Antwort leider korrigieren, schau noch mal rein.

(Ich hatte  mit cut&paste den Satz

Wegen f_xx > 0  mit f(0,3) = - 43 < 0 handelt es sich um ein lokales Minimum

falsch dargestellt:

Wegen f_xx  mit f(0,3) = - 43 < 0 handelt es sich um ein lokales Maximum.

und mich dadurch fälschlicherweise bzgl. des Vorzeichens auf das folgende -43 < 0 bezogen, was natürlich zu falschen Schlussfolgerungen führte.