Exponentialfunktion Koffein

Question

Die Aufgabe lautet

Koffein wird im Körper mit einer Halbwertszeit von 4 Stunden abgebaut

a) Koffeinmenge nach t Stunden kann durch die Funktion N(t)= N0*e^ -λ*t dargestellt werden. Berechne die Konstante λ

N0/2 = No*a⁴

0,5= a⁴

a=0,5¹/4

a= 0,840896415

N(t) = N0* 0,840896415^t

e^-λ= 0,840896415

-λ= ln0,840896415

λ=-ln0,840896415

λ=0,17328 

Stimmt das?

Bei dem Rest weiß ich gar nicht weiter, könnte mir da jemand helfen.

b) Ermittle wie viel % der vorhandenen Koffeinmenge pro Stunde abgebaut werden und wie viel nach 10 Stunden

Sind es einfach 1-0,84= also 16%?

c) A trinkt um 7:00 eine Tasse Kaffee(100mg Koffein). Um 13:00 trinkt sie eine Cola (40mg Koffein) und um 15:00 wieder eineTasse Kaffee. Wie viel Koffein befindet sich danach in ihrem Körper?

d) A hat um 15:00 eine Koffeinmenge von 150 mg in ihrem Körper. Berechne um wie viel Uhr die Koffeinmenge von A auf 50mg zurückgegangen ist.

Comments

Koffein wird im Körper mit einer Halbwertszeit von 4 Stunden abgebaut.

Koffeinmenge nach t Stunden kann durch die Funktion N(t)= N0*e^ -λ*t dargestellt werden. Berechne die Konstante λ

Wir haben folgende Formel:$$N(t)=N_{0}\cdot e^{-\lambda\cdot t}$$ Rechenweg:$$0.5=1\cdot e^{-\lambda\cdot 4}$$$$0.5=1\cdot e^{-\lambda\cdot 4} \quad |:1$$$$\log_{}{(0.5)}=\log_{}{(e)}\cdot {(-\lambda)\cdot 4} \quad | :4 \quad |:\log_{}{(e)}$$$$-\lambda=\frac{\log_{}{(0.5)}}{\log_{}{(e)}\cdot 4} \quad |\cdot (-1)$$$$\lambda=-\frac{\log_{}{(0.5)}}{\log_{}{(e)}\cdot 4}≈ 0.173$$

Ermittle wie viel % der vorhandenen Koffeinmenge pro Stunde abgebaut werden und wie viel nach 10 Stunden

$$1-e^{-0.173\cdot 1}≈ 15.886\%$$ Und nach 10 Stunden:$$1-e^{-0.173\cdot 10}≈ 82.272\%$$

A trinkt um 7:00 eine Tasse Kaffee(100mg Koffein). Um 13:00 trinkt sie eine Cola (40mg Koffein) und um 15:00 wieder eineTasse Kaffee. Wie viel Koffein befindet sich danach in ihrem Körper?

Kann man leider nicht ganz sagen, da man nicht weiß wie viel mg Koffein im Kaffee enthalten sind: $$N(t)_{Gesamt}=100\cdot e^{-0.173\cdot 6}+40\cdot e^{-0.173\cdot 2}+ \text{Kaffee}$$

A hat um 15:00 eine Koffeinmenge von 150 mg in ihrem Körper. Berechne um wie viel Uhr die Koffeinmenge von A auf 50mg zurückgegangen ist.

Wieder stellen wie dir Gleichung auf:$$50=150\cdot e^{-0.173\cdot t}$$$$50=150\cdot e^{-0.173\cdot t} \quad |:150$$$$\log_{}{\left(\frac{1}{3}\right)}=\log_{}{(e)}\cdot{(-0.173)\cdot t} \quad |:\log_{}{(e)} \quad |:(-0.173)$$$$t=\frac{\log_{}{\left(\frac{1}{3}\right)}}{\log_{}{(e)}\cdot(-0.173)} ≈ 6.35h$$

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HAHA OMG, ich habe meien Frage ausversehen in einen Kommentar verwandelt, bitte ändern!!!

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Bei c ist die 2 Tasse Kaffee aus 100mg. Mal was rechne ich sie dann? Weil es wurden ja immer die Stunden dazwischen genommen.

Ansonsten vielen Dank!!!

Und wie kann ich ich das ändern mit dem Kommentar? Bin leider neu und weiß noch nicht so genau wie alles funktioniert.

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Ja, das können nur Moderatoren machen!

Hier, wenn man den Kaffee mit einberechnet:

$$N(t)_{Gesamt}=100\cdot e^{-0.173\cdot 6}+40\cdot e^{-0.173\cdot 2}+ 100\approx 163.72mg$$

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Ok danke ich versuche gleich noch einmal alles durchzurechnen!

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D verstehe ich noch nicht ganz wegen diesem /150, kann ich nicht 50 auch mit 150 addieren und dann fällt es ganz weg? Und wenn ich log(1/3)/(log(e) mal (-0.173 eingebe im Taschenrechner kommt fehler raus und mir wird nichts angezeigt.

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Mit "log" ist  der dekadischer Logarithmus gemeint. Also der Logarithmus zur Basis von "e" oder "10". Ich weiß, dass das Deutsche Institut für Normung (DIN) gemäß DIN 1302 beschlossen hat, es anders zu schreiben, ich tue es aber trotzdem.

Auf deinem Taschenrechner findest du eine Taste die so:

Eventuell sieht das ein bisschen aus wie "In" auf dem Taschenrechner. Meist direkt neben oder unter der log-taste.

Gucke auch unten nochmal, ich habe iene Fehler gemacht

Answer 1

Ich weiß zwar nicht, ob der Rechenweg richtig ist, aber du kannst einfach eine Wertetabelle erstellen. Ich nehme für N(0) einfach 1

t	N(t)
0	1
4	≈0,5
8	≈0,25
12	≈0,125

Scheint also zu passen.

Da bei einer Exponentialfunktion die prozentuale Änderung immer gleich bleibt, muss man einfach $$p=1-\left(\frac{N(t+1)}{N(t)}\right)\cdot 100$$ rechnen.

Bsp.: t=1 p=ist der "Prozentsatz" st

$$p=\left(1-(\frac{N(2)}{N(1)}\right)\cdot 100=\left(1-\frac{0,707}{0,8409}\right)\cdot 100=15,9$$

Du hast mit deinen 16 Prozent auch recht und der Rechenweg ist auch richtig, hast du nur einen Schritt nicht mit notiert ;)

Um es nach 10h auszurechnen ist N(0) wieder 1 und dann

$$p=\left(1-N(10)\right)\cdot 100=82,32$$

Es sind also schon 82,31% weg.

c) von 7:00 bis 13:00 sind es 6 Stunden, wobei sie um 7:00 100mg zu sich genommen hat, dann um 13:00 40mg auch für 2 Stunden und dann nochmal 100mg dazu.

N(t) ist die Koffeinmenge für 7:00-13:00 und M(t) die ab 13:00. Wenn man den Wert für 15:00 möchte, muss man M(2)+100mg

$$N(t)=100\cdot {e}^{-0,17328\cdot t}\\M(t)=(N(6)+40mg)\cdot {e}^{-0,17328\cdot t}\\M(2)+100=(N(6)+40mg)\cdot {e}^{-0,17328\cdot 2}+100=\\(N(6)+40mg)\cdot {e}^{-0,17328\cdot 2}+100=153,28$$

d) t=0 ist 15:00

$$N(t)=150\cdot {e}^{-0,17328\cdot t}\\50=150\cdot {e}^{-0,173280\cdot t}\\\frac{50}{150}={e}^{-0,17328\cdot t}\\ln\left(\frac{50}{150}\right)=-0,17328\cdot t\\t=6,34$$

Ich hoffe, das hilft dir weiter.

Gruß

Smitty

Comments

Smitty, deine Rechnungen sind richtig, aber ich komme auf ungefähr 163.7mg. Ich glaube, dass du was falsch eingegeben hast.

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Probiere es gleich einmal aus, Dankeschön :)

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Ok Anton, ich habe das eingegeben.

N(6)≈35,36 (Ich rechne jetzt mit dem nicht gerundeten Wert weiter.

(35,36+40)*e^-0,17328*2+100=152,28

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Wir haben einen Unterschied bei der Eingabe. Ich 40+N(6) in Klammern und du nicht.

Man muss ja den Restwert vom ersten Kaffee noch dazu addieren, glaube ich zumindest.

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$$N(t)_{Gesamt}=100\cdot e^{-0.173\cdot 6}+40\cdot e^{-0.173\cdot 2}+ 100\approx 163.72mg$$

Man muss ja den Restwert vom ersten Kaffee noch dazu addieren, glaube ich zumindest.

Das stimmt!

Mon erreur!

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Ok, dann haben wir das geklärt ;)

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Also verstehe ich es richtig das Anton recht hatte und es 163,72 sind? Bin gerade ein wenige verwirrt hier

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So wie ich es verstehe ist meine Lösung jetzt richtig, da bei meiner Lösung das Koffein noch weitere 2 Stunden abgebaut wird und bei Anton nicht

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Ich verstehe nicht wie c zustande kommt jetzt. Kann mir das nochmal jemand genau erklären Vlt?

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Du hast ja die Funktion:

$$N(t)=N(0)\cdot {e}^{-0,17328\cdot t}$$

Für c) hast du 2 verschieden N(0) Zuerst von 7:00-13:00 100mg durch den Kaffee.

Dann setzt du für N(0) 100 ein und für t 6, da dieser erstmal für 6 Stunden im Körper bleibt. Deshalb für t 6. Das rechnest du N₁(6) aus.

$${N}_{1}(6)=100\cdot {e}^{-0,17328}\cdot 6$$

Soweit klar?

Jetzt trinkt die Person eine Cola und nimmt somit 40mg Koffein ein. Da der Koffein vom Anfang noch etwas vorhanden ist, muss man zu den 40mg das Ergebnis aus N(6) addieren.

Nun hast du ein neues N(0) nämlich (N(6)+40mg). Ist das auch klar?

Dies bleibt erstmal für 2 Stunden im Körper. Also musst du

$$(N(6)+40)\cdot {e}^{-0,17328\cdot 2 }$$

rechnen. Die 2 für kommt zustande, da der Zeitraum 13:00 bis 15:00 betrachtet wird. Also ist das Delta 2 Stunden.

Nach diesen zwei Stunden trinkt die Person noch einen Kaffee, also nimmt sie weitere 100mg Koffein auf. Diese 100mg rechnest du einfnach zu dem Ergebnis von gerade.

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Smitty hat es genau richtig gemacht!

A trinkt um 7:00 eine Tasse Kaffee(100mg Koffein). Um 13:00 trinkt sie eine Cola (40mg Koffein) und um 15:00 wieder eineTasse Kaffee. Wie viel Koffein befindet sich danach in ihrem Körper?

N(t)=N0*e^-λ*t
Hierbei sind:

N(t)= Bestand nach Zeit
N₀= Grundbestand
t= Zeit
λ= Konstante

Wenn jemand um 7:00 einen Kaffee trinkt mit (100mg Koffein), dann hat er als Grundbestand 100mg in seinem Körper. Er lässt das Koffein ganze 6 Stunden (7 Uhr bis 13 Uhr) in seinem Körper abbauen. Jetzt trinkt er jedoch um 13:00 Uhr wieder eine Cola mit 40mg. Er hat jedoch noch Restbestände von der letzten Koffeineinahme. Die muss man mit einberechnen.

Diese lässt er wieder in seinem Körper abbauen (2 Stunden lang (13-15)). Dann trinkt er jedoch wieder einen Kaffee, der 100mg Koffein hat. Am Ende kommt man darauf, dass er noch 153.28mg in seinem Körper hat.

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Achso ich verstehe. Danke euch 2!!!

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ne pas de probleme! Das war wahrscheinlich unser beider Ziel! ;)

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Das war wahrscheinlich unser beider Ziel! ;)

Gewiss, das war es.

Danke euch 2!!!

 Kein Problem :)