Question

Eine Laplace-Münze wird viermal hintereinander geworfen. Gib die Ergebnismenge an. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass...

a) gleich oft Wappen und Zahl erscheint

b) Wappen seltener erscheint als Zahl

c) höchstens dreimal Zahl erscheint

d) nie Zahl erscheint

Answer 1

Ein La-Place-Münze ist nichts weiter, als eine gewöhnliche Geldmünze.

Gib die Ergebnismenge an.

In meinem Lehrwerk wird die Ergebnismenge mit "Ω" abgekürzt:

Ich werde nicht alle aufzählen, kann dir aber sagen, dass es:$$ 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2 =2^4=16 $$ Möglichkeiten gibt, auf verschiedenste Weise Ergebnisse zu erzielen.

Ω={(W;P;W;P),(W;W;W;W),...,)

gleich oft Wappen und Zahl erscheint

Hier können wir wieder die Kombinatorik fragen, wie viele Möglichkeiten es gibt:$$ \begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}=6 $$ Nämlich folgende:

Ω={(PPWW),(WWPP), (WPWP), (PWPW), (PWWP), (WPPW)}

Das heißt, du musst nun alle Wahrscheinlichkeiten, der einzelen Möglichkeiten aufschreiben und addieren:

P(E)=(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)+(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)+(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)+(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)+(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)+(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)=(3/8)=37.5%

Cleverer Weg:

Wir haben alle Möglichkeiten bestimmt, in denen das geforderte Erfüllt wird, außerdem wissen wir, dass es insgesamt 16 Möglichkeiten überhaupt gibt. Deswegen können wir den Graus einfach abkürzen:$$ \frac{\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}=37.5\% $$

Wappen seltener erscheint als Zahl

Ich vertraue absofort der Kombinatorik, da ich keine Lust mehr hab alles aufzuschreiben:$$ \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot 2!=12 $$ Es gibt also zwölf Möglichkeiten. (Das kann man bestimmt noch besser machen)

P(E)=(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)+ (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)+ (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)+ (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)+ (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)+ (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)+ (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)+ (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)+ (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)+ (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)+ (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)+ (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)=0.75=75%

Cleverer Weg:

Wir haben wieder alle Möglichkeiten durch die Kombinatorik bestimmt und können wie oben agieren:$$ \frac{\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot 2!}{16}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}=75\% $$

höchstens dreimal zahl erscheint

Hier kannst du von der Binomialverteilung gebrauch machen.

$$ P(X≤2)=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot 0.5^2\cdot (1-0.5)^{4-2} = 0.375 =37.5\%$$

nie Zahl erscheint

(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)=(1/16)=6.25%

Angaben ohne Gewähr!

Comments

Was ist P?

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Hallo Alkaryptos,

Mir sind gerade intelligentere Wege eingefallen, dafür brauchst du aber grundlegendes Wissen in der Kombinatorik, falls du darüber noch nicht verfügst:

https://www.mathelounge.de/532659/sitzplatze-studierende-wieviele-sitzplatzverteilungen

Lies dir meine Antwort dort mal durch, wenn du die Formeln kennst und weißt wann welche verwendet wird hast du es eigentlich schon!

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Was ist P?

Du scheinst doch nicht dumm zu sein? Wie lange brauchst du, zu begreifen, dass du entweder konstruktive oder gar keine Kritik äußern sollst?

Answer 2

Eine Laplace-Münze wird viermal hintereinander geworfen. Gib die Ergebnismenge an.

Ok, es ist sicher eine gute Idee, damit zu beginnen:

Mit den Kürzeln W (= Wappen) und Z (= Zahl) können wir die Ergebnismenge S so darstellen:

S = { 
WWWW, 
WWWZ, WWZW, WZWW, ZWWW, 
WWZZ, WZWZ, ZWWZ, WZZW, ZWZW, ZZWW, 
WZZZ, ZWZZ, ZZWZ, ZZZW, 
ZZZZ 
}

Die 16 Ergebnisse sind aufsteigend nach der Anzahl an Z sortiert. Die Laplace-Wahrscheinlichkeiten der vier Teilaufgaben lassen sich nun ohne jede Rechnung sofort angeben.

Comments

Eine Laplace-Münze wird viermal hintereinander geworfen.
Gib die Ergebnismenge an.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass...
a) gleich oft Wappen und Zahl erscheint
b) Wappen seltener erscheint als Zahl
c) höchstens dreimal Zahl erscheint
d) nie Zahl erscheint

Die Lösungen lassen sich durch auszählen der entsprechenden Teilmengen der Ergebnismenge bestimmen:

a) 6/16   b) 5/16   c) 15/16   d) 1/16