Mit Umfang eines Rechtecks dessen Diagonale berechnen

Question

Es ist ein Umfang von 20 cm gegeben und man will herausfinden, wie man die Diagonale möglichst klein wwerden lassen kann. Wie soll man das nun berechnen

Answer 1

 

ich vermute mal, das wird wieder bei einem Quadrat der Fall sein :-)

 

U = 2a + 2b = 20, also 2a = 20 - 2b oder a = 10 - b

Diagonale = √(a² + b²)

Wir setzen a = 10 - b ein: 

Diagonale = √(100 - 20b + b² + b²) = √(2b² - 20b + 100)

Die Wurzel wird dann minimal, wenn der Radikand minimal wird.

Also schreiben wir: 

f(b) = 2b² - 20b + 100

f'(b) = 4b - 20

Notwendige Bedingung für Minimum: f'(b) = 0, also 4b - 20 = 0, also b = 5

Hinreichende Bedingung für Minimum: f''(b) > 0; das gilt, da f''(b) = 4 ist. 

Wir haben jetzt: 

b = 5

Eingesetzt in die erste Formel: 

2a + 2b = 20

2a + 10 = 20

2a = 10

a = 5

Das Rechteck ist also ein Quadrat mit der Seitenlänge 5.

 

Richtig vermutet :-)

 

Besten Gruß

Comments

Vielen Dank für die Antwort, jetzt weiß ich endlich wo mein Fehler lag :)

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Die Länge der Diagonalen hast Du nicht überlesen, weil ich sie nicht angegeben habe :-D

Sie beträgt, weil wir ein Quadrat mit Seitenlänge 5 vorliegen haben: 

Pythagoras: a² + b² = c²

5² + 5² = c²

50 = c²

c = √50

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Prima, und:

Sehr gern geschehen :-)